Найти частную производную по Pa от V = 1000M(Pg − Pa) / [Pg(Pv − Pa)(1 + (t − 20)b)], считая M, Pg, Pv, t и b константами.

Step-by-step solution

1. 1

   Вынесем все множители, не зависящие от $P_a$. Только два множителя содержат $P_a$: один в числителе и один в знаменателе. Обозначим постоянную

   $C=\frac{1000M}{P_g\bigl(1+(t-20)b\bigr)},$

   тогда

   $V=C\cdot\frac{P_g-P_a}{P_v-P_a}.$

   Выделение $C$ на этом этапе позволяет свести дифференцирование к одному применению правила дифференцирования дроби, а не к более громоздкому сочетанию правил произведения и дроби.

2. 2

   Применим правило дифференцирования дроби к оставшемуся отношению. Пусть $f=P_g-P_a$, $g=P_v-P_a$, тогда обе производные равны $-1$:

   $\frac{\partial}{\partial P_a}\frac{f}{g}=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}=\frac{-(P_v-P_a)+(P_g-P_a)}{(P_v-P_a)^{2}}.$

3. 3

   Упростим числитель. Два слагаемых с $P_a$ сокращаются:

   $-(P_v-P_a)+(P_g-P_a)=-P_v+P_a+P_g-P_a=P_g-P_v.$

   Таким образом, производная отношения равна $\dfrac{P_g-P_v}{(P_v-P_a)^{2}}$ — постоянный числитель над квадратом. Именно это сокращение делает ответ таким компактным.

4. 4

   Восстановим вынесенный множитель.

   $\frac{\partial V}{\partial P_a}=\frac{1000M\,(P_g-P_v)}{P_g\bigl(1+(t-20)b\bigr)\,(P_v-P_a)^{2}}.$

5. 5

   Проверим знак и частный случай. Знаменатель $(P_v-P_a)^{2}$ всегда положителен, поэтому знак $\partial V/\partial P_a$ определяется только соотношением $P_g$ и $P_v$ — он не меняется при изменении $P_a$. Если $P_g=P_v$, производная тождественно равна нулю, что верно, так как тогда $V=C$ — постоянная, не зависящая от $P_a$.