Вычислить неопределённый интеграл x² − 13·x^{2/4} по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Сократим показатель степени. $\tfrac{2}{4} = \tfrac12$, значит, $x^{2/4} = x^{1/2} = \sqrt{x}$, и подынтегральное выражение примет вид

   $x^2 - 13\sqrt{x}$

   Если не сокращать показатель, формально это не ошибка, но вычисления по формуле степени на следующем шаге станут менее удобными.

2. 2

   Разобьём интеграл по линейности.

   $\int \left(x^2 - 13x^{1/2}\right)dx = \int x^2\,dx - 13\int x^{1/2}\,dx$

3. 3

   Применим формулу интегрирования степенной функции к каждому слагаемому. По формуле $\int x^n dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (применимо, так как ни один показатель не равен $-1$):

   $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}, \qquad \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$

4. 4

   Умножим на коэффициент.

   $-13 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} = -\frac{26}{3}x^{3/2}$

5. 5

   Запишем общий ответ.

   $\int \left(x^2 - 13\sqrt{x}\right)dx = \frac{x^3}{3} - \frac{26}{3}x^{3/2} + C$

6. 6

   Проверим результат дифференцированием. $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac{x^3}{3}\right) = x^2$, а $\tfrac{d}{dx}\left(-\tfrac{26}{3}x^{3/2}\right) = -\tfrac{26}{3}\cdot\tfrac32 x^{1/2} = -13\sqrt{x}$. Производная совпадает с подынтегральным выражением. Область определения: $\sqrt{x}$ требует $x \ge 0$.