Пусть функция f дифференцируема на [a, ∞), и предел f при x → a+ равен пределу f при x → ∞, оба равны конечному числу A. Докажите, что существует ξ ∈ (a, ∞) такое, что f'(ξ) = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим аналог теоремы Ролля на бесконечном интервале. В классической теореме Ролля значения функции на концах совпадают, но здесь совпадают только пределы, причём один конец уходит в бесконечность, поэтому теорема Ролля напрямую не применима. Вместо этого используется теорема Ферма: если дифференцируемая функция достигает локального экстремума внутри интервала, её производная в этой точке равна нулю. Значит, задача сводится к тому, чтобы найти экстремум строго внутри $(a,+\infty)$.

2. 2

   Рассмотрим случай постоянной функции. Если $f(x)\equiv A$ на $(a,+\infty)$, то $f'(x)=0$ при любом $x$, и любое $\xi$ подходит. Поэтому далее предполагается, что существует $x_{0}\in(a,+\infty)$, для которого $f(x_{0})\neq A$. Если заменить $f$ на $-f$, ситуация не изменится (пределы просто поменяют знак, а точки с нулевой производной сохранятся), поэтому можно считать, что

   $f(x_{0})>A$

3. 3

   Используем пределы, чтобы ограничить область больших значений. Обозначим

   $\varepsilon=\frac{f(x_{0})-A}{2}>0$

   Из $\lim_{x\to a^{+}}f(x)=A$ следует, что найдётся $u\in(a,x_{0})$, такое что $|f(x)-A|<\varepsilon$, то есть $f(x)<A+\varepsilon$ для всех $x\in(a,u]$. Аналогично, из $\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$ существует $v>x_{0}$, что $f(x)<A+\varepsilon$ для всех $x\geq v$. Таким образом, вне отрезка $[u,v]$ функция не превышает $A+\varepsilon$, а внутри этого отрезка достигает значения

   $f(x_{0})=A+2\varepsilon>A+\varepsilon$

4. 4

   Покажем, что максимум на $[u,v]$ достигается внутри интервала. Функция $f$ дифференцируема, а значит непрерывна на замкнутом отрезке $[u,v]$, поэтому по теореме Вейерштрасса она достигает на нём максимума в некоторой точке $\xi\in[u,v]$. Этот максимум не меньше $f(x_{0})=A+2\varepsilon$. Но $f(u)<A+\varepsilon$ и $f(v)<A+\varepsilon$, значит, $\xi$ не совпадает с концами:

   $\xi\in(u,v)\subset(a,+\infty)$

5. 5

   Покажем, что найденный максимум — глобальный, и применим теорему Ферма. Для $x\in(a,u)$ и $x>v$ имеем $f(x)<A+\varepsilon<f(\xi)$, то есть $f(\xi)$ — наибольшее значение функции на всём $(a,+\infty)$; в частности, это локальный максимум во внутренней точке. Поскольку $f$ дифференцируема в $\xi$, по теореме Ферма

   $f'(\xi)=0$

   что и требовалось доказать.

6. 6

   Укажем, где использовались условия задачи. Конечность $A$ необходима для выбора $\varepsilon$; равенство двух пределов обеспечивает возврат функции к одному и тому же уровню на концах, чтобы «бугор» в середине не мог быть частью монотонного тренда; а дифференцируемость на всём $(a,+\infty)$ позволяет применить теорему Ферма в точке $\xi$. Если убрать любое из этих условий, утверждение может не выполниться — например, для $f(x)=1/x$ на $[1,\infty)$ пределы различны и критических точек нет.