Вычислите сумму бесконечного ряда 1/(n · 2ⁿ) при n от 1 до бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверяем сходимость до вычисления. Все члены положительны и $\frac{1}{n2^{n}} \le \frac{1}{2^{n}}$, а сумма мажоранты — сходящаяся геометрическая прогрессия $\sum 2^{-n} = 1$. Значит, ряд сходится, и его сумма не превосходит $1$ — полезная оценка, с которой потом сверим итог.

2. 2

   Вспоминаем логарифмический ряд (ряд Меркатора). При $|x| < 1$

   $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$

   Это первообразная геометрического ряда $\frac{1}{1-x} = \sum_{n \ge 0} x^{n}$, проинтегрированного почленно от $0$ до $x$.

3. 3

   Переписываем общий член под нужный шаблон. Соберём $2^{n}$ в степень одного числа:

   $\frac{1}{n\,2^{n}} = \frac{\left(\tfrac12\right)^{n}}{n}$

   так что ряд — это в точности $\sum_{n\ge1} \frac{x^{n}}{n}$ при $x = \tfrac12$, с хорошим запасом внутри радиуса сходимости.

4. 4

   Подставляем x = 1/2.

   $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(\tfrac12\right)^{n}}{n} = -\ln\left(1-\frac12\right) = -\ln\frac12$

5. 5

   Упрощаем логарифм. Так как $\ln\tfrac12 = -\ln 2$, то

   $-\ln\frac12 = \ln 2$

   $\Longrightarrow \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\,2^{n}} = \ln 2$

6. 6

   Подтверждаем численно. Сумма первых двухсот слагаемых равна $0.6931471805599453$, а $\ln 2 = 0.6931471805599453$ — совпадение до полной двойной точности, и значение уверенно меньше оценки $1$ из первого шага.