Найдите ряд Тейлора функции √(x² + 1) в точке x = 0, укажите общий член и интервал сходимости.

Step-by-step solution

1. 1

   Применяем биномиальный ряд с $t=x^{2}$. Обобщённая биномиальная формула даёт

   $(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^{n},$

   а здесь $\alpha=\tfrac12$, $t=x^{2}$. Так как сам $t$ является квадратом, появиться могут только чётные степени $x$ — и это как раз то, чего следовало ожидать: $\sqrt{x^{2}+1}$ — чётная функция.

2. 2

   Считаем коэффициенты по одному. Пользуясь тем, что $\binom{1/2}{n}=\frac{\tfrac12\left(\tfrac12-1\right)\cdots\left(\tfrac12-n+1\right)}{n!}$:

   $n=1:\ \tfrac12x^{2};\qquad n=2:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)}{2}x^{4}=-\tfrac18x^{4};$

   $n=3:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{6}x^{6}=\tfrac{1}{16}x^{6};\qquad n=4:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac52\right)}{24}x^{8}=-\tfrac{5}{128}x^{8}.$

   В отличие от разложения $\sqrt{1+2x}$, здесь не приходится тащить за собой множитель $2^{n}$: подстановка даёт степени $x$, а не постоянный коэффициент.

3. 3

   Выписываем разложение. Собирая слагаемые, получаем

   $\sqrt{1+x^{2}}=1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{8}+\frac{x^{6}}{16}-\frac{5x^{8}}{128}+\cdots$

   Начиная со слагаемого с $x^{4}$ знаки чередуются, а коэффициенты быстро убывают, поэтому при малых $x$ нескольких слагаемых хватает с большим запасом точности.

4. 4

   Записываем общий член. В замкнутом виде

   $\sqrt{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^{2n},\qquad \binom{1/2}{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{4^{n}(2n-1)}\binom{2n}{n}\ (n\ge1).$

   Проверим при $n=2$: $\frac{-1}{16\cdot 3}\cdot 6=-\frac{6}{48}=-\frac18$ ✓ — совпадает с коэффициентом при $x^{4}$.

5. 5

   Находим интервал сходимости. Биномиальный ряд требует $|t|=|x^{2}|<1$, то есть $|x|<1$. При $x=\pm1$ слагаемые ведут себя как $n^{-3/2}$, поэтому ряд сходится абсолютно и там, что даёт замкнутый отрезок $[-1,1]$. При $x=1$ сумма равна $\sqrt2=1.4142136$, но сходимость медленная: обрыв после слагаемого с $x^{8}$ даёт всего $1.3984375$, слагаемые до $x^{20}$ включительно дают $1.40993$, а до $x^{80}$ — по-прежнему лишь $1.41366$. Быстрая сходимость — свойство внутренности интервала, а не его концов.