Вычислите тройной интеграл от xz по области −1 ≤ x ≤ 1, x² ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ y.

Step-by-step solution

1. 1

   Считываем порядок вложенности прямо из пределов. Границы уже выстроены под порядок $dz\,dy\,dx$: во внутренних пределах ($0$ и $y$) допустимы $y$ и $x$, в средних ($x^2$ и $1$) — только $x$, а внешние обязаны быть постоянными. Ничего переставлять не нужно.

2. 2

   Интегрируем по z. Здесь $x$ — константа:

   $\int_0^y xz\,dz = x\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^y = \frac{xy^2}{2}$

3. 3

   Интегрируем по y от x² до 1. Теперь постоянным множителем служит $x/2$:

   $\int_{x^2}^{1} \frac{xy^2}{2}\,dy = \frac{x}{2}\left[\frac{y^3}{3}\right]_{x^2}^{1} = \frac{x}{6}\left(1 - x^6\right)$

   Заметим: $(x^2)^3 = x^6$, а не $x^5$ — при возведении степени в степень показатели перемножаются.

4. 4

   Прежде чем интегрировать, смотрим на чётность оставшегося выражения.

   $\frac{x(1 - x^6)}{6} = \frac{x - x^7}{6}$

   И $x$, и $x^7$ — нечётные функции, поэтому вся подынтегральная функция нечётна: $f(-x) = -f(x)$.

5. 5

   Пользуемся симметрией отрезка. Внешний отрезок $[-1, 1]$ симметричен относительно $0$, а интеграл любой нечётной функции по такому отрезку равен нулю:

   $\frac{1}{6}\int_{-1}^{1}(x - x^7)\,dx = 0$

   Геометрическая причина видна прямо в условии: область симметрична относительно замены $x \mapsto -x$ (границы $x^2 \le y \le 1$ и $0 \le z \le y$ при этом не меняются), а подынтегральная функция $xz$ меняет знак, так что вклады попарно уничтожаются.

6. 6

   Проверяем. Прямое вычисление по слагаемым даёт $\int_{-1}^{1} x\,dx = 0$ и $\int_{-1}^{1} x^7\,dx = 0$. Численная тройная квадратура возвращает $-5 \times 10^{-20}$, то есть нуль с машинной точностью. Замеченная симметрия избавляет от всех вычислений сразу — но только после того, как вы убедились, что область действительно симметрична.