Докажите, что если f(x) интегрируема по Риману на [a, b], то интеграл от a до b f(x)cos(px) dx стремится к 0 при p, стремящемся к бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбор подходящего класса приближающих функций. Для любой интегрируемой по Риману функции $f$ известно, что она ограничена и может быть сколь угодно точно приближена ступенчатой функцией. Для любого $\varepsilon>0$ существует ступенчатая функция $\varphi$ такая, что $\int_a^b\left|f(x)-\varphi(x)\right|dx<\varepsilon .$ Здесь $\varphi(x)=c_k$ на каждом $(x_{k-1},x_k)$ для разбиения $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$. Ступенчатые функции выбраны потому, что интеграл $\int\cos(px)$ по отрезку можно вычислить явно.

2. 2

   Рассмотрим случай ступенчатой функции. На каждом отрезке $\int_{x_{k-1}}^{x_k}\cos(px)\,dx=\frac{\sin(px_k)-\sin(px_{k-1})}{p},$ поэтому $\int_a^b\varphi(x)\cos(px)\,dx=\frac1p\sum_{k=1}^{n}c_k\left[\sin(px_k)-\sin(px_{k-1})\right].$

3. 3

   Оценим интеграл для ступенчатой функции через 1/p. Модуль каждого квадратного скобки не превосходит $2$, поэтому $\left|\int_a^b\varphi(x)\cos(px)\,dx\right|\le\frac{2}{p}\sum_{k=1}^{n}|c_k| .$ Разбиение фиксировано после выбора $\varepsilon$, значит сумма — константа, и вся оценка стремится к нулю при $p\to\infty$. Именно колебания косинуса дают здесь убывание как $1/p$ за счёт взаимного сокращения на каждом отрезке.

4. 4

   Разделим исходный интеграл на основную часть и ошибку. Запишем $\int_a^b f\cos(px)\,dx=\int_a^b \varphi\cos(px)\,dx+\int_a^b (f-\varphi)\cos(px)\,dx .$ Так как $|\cos(px)|\le 1$, то для второго слагаемого выполняется $\left|\int_a^b (f-\varphi)\cos(px)\,dx\right|\le\int_a^b|f-\varphi|\,dx<\varepsilon$ равномерно по $p$.

5. 5

   Объединим две оценки. По предыдущему шагу найдётся $P$, что $\left|\int_a^b\varphi\cos(px)\,dx\right|<\varepsilon$ для всех $p>P$. Тогда $\left|\int_a^b f\cos(px)\,dx\right|<2\varepsilon$ для всех $p>P$. Поскольку $\varepsilon>0$ выбиралось произвольно, предел равен нулю. Аналогично доказывается случай с $\sin(px)$ — вместе это и есть лемма Римана–Лебега.