Найдите неопределённый интеграл от x⁵ / √(x² + 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Пользуемся тем, что степень $x$ нечётная. Показатель $5$ нечётен, поэтому один множитель $x$ можно объединить с $dx$ в $du$, а оставшаяся чётная степень $x^{4}$ полностью выражается через $x^{2}$. Именно по этой причине замена $u=x^{2}+1$ здесь срабатывает, а при чётном показателе не сработала бы.

2. 2

   Записываем замену.

   $u=x^{2}+1\ \Longrightarrow\ du=2x\,dx\ \Longrightarrow\ x\,dx=\tfrac12\,du,\qquad x^{2}=u-1$

   Тогда

   $x^{5}dx=\left(x^{2}\right)^{2}\cdot x\,dx=(u-1)^{2}\cdot\tfrac12\,du$

3. 3

   Переписываем весь интеграл через $u$.

   $\int\frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\frac12\int\frac{(u-1)^{2}}{\sqrt u}\,du=\frac12\int\left(u^{3/2}-2u^{1/2}+u^{-1/2}\right)du$

   Раскрытие $(u-1)^2=u^2-2u+1$ и деление каждого слагаемого на $u^{1/2}$ понижают все показатели на $\tfrac12$.

4. 4

   Интегрируем каждую степень по правилу $\int u^{p}du=\frac{u^{p+1}}{p+1}$.

   $\int u^{3/2}du=\tfrac25u^{5/2},\qquad \int u^{1/2}du=\tfrac23u^{3/2},\qquad \int u^{-1/2}du=2u^{1/2}$

5. 5

   Собираем всё вместе и раскрываем внешнюю одну вторую.

   $\frac12\left(\frac25u^{5/2}-\frac43u^{3/2}+2u^{1/2}\right)=\frac15u^{5/2}-\frac23u^{3/2}+u^{1/2}$

6. 6

   Возвращаемся к переменной $x$ и проверяем.

   $\int\frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\frac15\left(x^{2}+1\right)^{5/2}-\frac23\left(x^{2}+1\right)^{3/2}+\left(x^{2}+1\right)^{1/2}+C$

   Численное дифференцирование в точке $x=1.3$ даёт $2.263813$, и подынтегральная функция там равна $2.263813$ ✓.