Найдите и упростите разностное отношение (f(x + h) − f(x))/h при h, не равном 0, для f(x) = 8 − 11x.

Step-by-step solution

1. 1

   Построим $f(x+h)$ подстановкой, обязательно со скобками. Заменяем каждый $x$ в формуле на всю величину $x+h$:

   $f(x+h) = 8 - 11(x+h) = 8 - 11x - 11h$

   Запись $8 - 11x + h$ — когда $-11$ распределяют только на первое слагаемое — самая частая ошибка.

2. 2

   Составим числитель и проследим за вычитанием. Вычесть $f(x)$ означает вычесть всё выражение целиком, поэтому оба его слагаемых меняют знак:

   $f(x+h) - f(x) = (8 - 11x - 11h) - (8 - 11x) = 8 - 11x - 11h - 8 + 11x$

3. 3

   Уничтожим всё, что не содержит $h$. Уничтожаются $8$ и $-8$, а также $-11x$ и $+11x$:

   $f(x+h) - f(x) = -11h$

   То, что все $x$ исчезли, — признак линейности функции.

4. 4

   Разделим на $h$. Поскольку $h \neq 0$, деление законно:

   $\frac{-11h}{h} = -11$

   Ни $h$, ни $x$ не уцелели.

5. 5

   Истолкуем постоянный результат. Разностное отношение — это угловой коэффициент секущей через точки $(x, f(x))$ и $(x+h, f(x+h))$. Для прямой любая секущая совпадает с самой прямой, поэтому отношение обязано равняться постоянному наклону $-11$ — то есть коэффициенту при $x$ в $f(x) = 8 - 11x$. Переход $h \to 0$ даёт $f'(x) = -11$, как и ожидалось.

6. 6

   Сравним с квадратичным случаем. Для $f(x) = 2x^2 - 3x + 4$ та же процедура даёт $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = 4x + 2h - 3$, где остаются и $x$, и $h$. Наличие остаточного $h$ нормально для нелинейных функций; его отсутствие здесь как раз и выдаёт линейность $8-11x$.

7. 7

   Проверим численно. Возьмём $x = 2$, $h = 0.1$: $f(2.1) = 8 - 23.1 = -15.1$ и $f(2) = 8 - 22 = -14$, значит отношение равно $\dfrac{-15.1 + 14}{0.1} = \dfrac{-1.1}{0.1} = -11$ ✓ — независимо от $h$, как и утверждалось.