Найти неопределённый интеграл e^(-x) · x^3.102378 по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим, почему метод интегрирования по частям здесь не работает. Для целого показателя $x^n e^{-x}$ последовательное применение по частям понижает степень на единицу, пока не дойдёт до $x^0$, и интеграл замыкается. В случае $a = 3.102378$ показатели принимают значения $3.102378,\ 2.102378,\ 1.102378,\ 0.102378,\ -0.897622,\dots$ и никогда не становятся целым нулём, поэтому процесс не завершается. Элементарной первообразной не существует.

2. 2

   Назовём специальную функцию, которая выражает этот интеграл. Нижняя неполная гамма-функция определяется так:

   $\gamma(s,x) = \int_0^{x} t^{s-1}e^{-t}\,dt$

   По основной теореме анализа $\dfrac{d}{dx}\gamma(s,x) = x^{s-1}e^{-x}$.

3. 3

   Подберём показатель степени. Требуется $s - 1 = 3.102378$, значит

   $s = 4.102378$

   и, следовательно,

   $\int e^{-x}x^{3.102378}\,dx = \gamma(4.102378,\,x) + C$

4. 4

   Запишем эквивалентную форму через верхнюю гамма-функцию. Так как $\gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s)$, где $\Gamma(s)$ — постоянная по $x$, ту же первообразную можно записать так:

   $\int e^{-x}x^{3.102378}\,dx = -\Gamma(4.102378,\,x) + C$

   Обе формы отличаются только на постоянную $\Gamma(4.102378)$, которая входит в $C$.

5. 5

   Получим определённый интеграл по всему лучу. При $x \to \infty$ неполная гамма-функция переходит в полную:

   $\int_0^{\infty} e^{-x}x^{3.102378}\,dx = \Gamma(4.102378) \approx 6.83346$

   Для сравнения: соседний целый случай даёт $\Gamma(4) = 3! = 6$, то есть чуть больший показатель немного увеличивает значение, что согласуется с плавным ростом $\Gamma$ при $s = 4$.