Вычислить неопределённый интеграл x²·e^{-x²} по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Разобьём $x^{2}$ так, чтобы один множитель $x$ объединился с экспонентой. Множитель $xe^{-x^{2}}$ имеет элементарную первообразную (его внутренняя производная — $-2x$), тогда как у $e^{-x^{2}}$ элементарной первообразной нет. Поэтому положим

   $u=x,\qquad dv=xe^{-x^{2}}\,dx.$

   Если попытаться разбить иначе, взяв $dv=e^{-x^{2}}dx$, процесс сразу застопорится — именно в правильном разбиении и заключается вся идея.

2. 2

   Найдём $v$ методом подстановки. Пусть $t=-x^{2}$, тогда $dt=-2x\,dx$:

   $v=\int xe^{-x^{2}}dx=-\frac12\int e^{t}\,dt=-\frac12 e^{-x^{2}}.$

   Также $du=dx$. Минус и $\tfrac12$ появляются из коэффициента $\frac{1}{-2}$ при подстановке и должны быть учтены далее.

3. 3

   Применим интегрирование по частям. По формуле $\int u\,dv=uv-\int v\,du$:

   $\int x^{2}e^{-x^{2}}dx=x\left(-\frac12 e^{-x^{2}}\right)-\int\left(-\frac12 e^{-x^{2}}\right)dx=-\frac{x}{2}e^{-x^{2}}+\frac12\int e^{-x^{2}}dx.$

   Оставшийся интеграл — это гауссиан, он проще исходного, что подтверждает правильность выбора разбиения.

4. 4

   Выразим гауссиан через функцию ошибок. У $\int e^{-x^{2}}dx$ нет элементарной первообразной. Функция ошибок как раз и вводится для обозначения такого интеграла:

   $\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt\;\Longrightarrow\;\int e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x)+C.$

5. 5

   Соберём выражение и проверим. Подставляя обратно,

   $\int x^{2}e^{-x^{2}}dx=-\frac{x}{2}e^{-x^{2}}+\frac{\sqrt{\pi}}{4}\operatorname{erf}(x)+C.$

   Проверим дифференцированием: $-\tfrac12 e^{-x^{2}}+x^{2}e^{-x^{2}}+\tfrac{\sqrt{\pi}}{4}\cdot\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^{2}}=x^{2}e^{-x^{2}}$ ✓ — два полуслагаемых взаимно уничтожаются. Численная проверка при $x=0.9$ даёт $0.3603350$ в обоих случаях ✓. В качестве бонуса: так как $\operatorname{erf}(\infty)=1$, а первый член стремится к нулю, $\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x^{2}}dx=\tfrac{\sqrt{\pi}}{4}$.