Найти производную y = косинус квадратного корня из (2x + 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Определим слои функции и область определения. Данная функция — это тройное вложение: $y=\cos u$, где $u=\sqrt{v}$, а $v=2x+1$. Для определённости $y$ требуется $2x+1\ge 0$, то есть $x\ge-\frac12$; для существования производной потребуется строгое неравенство $x>-\frac12$, так как у $\sqrt{v}$ бесконечная производная при $v=0$.

2. 2

   Вычислим производную внешнего слоя.

   $\frac{dy}{du}=-\sin u=-\sin\sqrt{2x+1}$

   Знак минус обязателен — это производная косинуса, его терять нельзя.

3. 3

   Вычислим производную внутреннего квадратного корня, снова применяя правило цепочки. Представим $\sqrt{2x+1}$ как $(2x+1)^{1/2}$:

   $\frac{du}{dx}=\frac12(2x+1)^{-1/2}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

   Множитель $2$ из $\frac{d}{dx}(2x+1)$ сокращает $\frac12$ из степенного правила — это аккуратное совпадение именно для коэффициента $2$.

4. 4

   Перемножим найденные производные.

   $y'=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=-\sin\sqrt{2x+1}\cdot\frac{1}{\sqrt{2x+1}}=-\frac{\sin\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}}$

5. 5

   Проверим численно и рассмотрим граничную точку. При $x=4$: $\sqrt{9}=3$, значит $y'=-\frac{\sin 3}{3}=-\frac{0.1411200}{3}=-0.0470400$. Центральная разность для $\cos\sqrt{2x+1}$ при $x=4$ также даёт $-0.0470400$ — совпадает. При $x=-\frac12$ функция определена ($y=\cos 0=1$), но знаменатель обращается в ноль, поэтому график имеет вертикальную касательную и $y'$ в этой точке не существует.