Найти предел при x → 0 выражения (sin x / x) в степени 1 / (cos x − 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Определим вид неопределённости. При $x \to 0$ основание $\frac{\sin x}{x} \to 1$, а показатель $\frac{1}{\cos x - 1} \to \pm\infty$ (он отрицателен, так как $\cos x - 1 < 0$). Это неопределённость вида $1^{\infty}$, значение которой не очевидно — она может принимать любые значения, поэтому её необходимо раскрыть, а не угадывать.

2. 2

   Применим логарифмирование, чтобы степень стала дробью. Обозначим предел через $L$. Тогда

   $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right)}{\cos x - 1}$

   Теперь это предел вида $0/0$, который удобно раскрывать с помощью разложений в ряд.

3. 3

   Разложим числитель до $x^2$. Из $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ получаем:

   $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)$

   Далее, используя $\ln(1 + u) = u + O(u^2)$ при $u = -\frac{x^2}{6}$:

   $\ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x^2}{6} + O(x^4)$

   Главный член — квадратичный, а не линейный, поэтому знаменатель тоже нужно разложить до $x^2$.

4. 4

   Разложим знаменатель до того же порядка. Из $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ получаем:

   $\cos x - 1 = -\frac{x^2}{2} + O(x^4)$

5. 5

   Выполним деление и возведём в степень. Факторы $x^2$ сокращаются, знаки также сокращаются:

   $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2/6}{-x^2/2} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$

   Следовательно,

   $L = e^{1/3} \approx 1{,}39561$

6. 6

   Проверим численно. Подставляя $x = 10^{-2}$ в исходное выражение, получаем $1{,}3956179$, а при $x = 10^{-4}$ — $1{,}3956124$, что совпадает с $e^{1/3} = 1{,}3956124$. Функция чётная, поэтому при $x < 0$ значения те же — двухсторонний предел существует.