Вычислить предел (x² + 2x − 15)/(x² − 9) при x стремится к 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала попробуем подставить напрямую и посмотрим на результат. Подставляя $x=3$ в числитель и знаменатель, получаем

   $\frac{9+6-15}{9-9}=\frac{0}{0}$

   Вид $\tfrac00$ — неопределённость, а не отсутствие смысла: это признак того, что в числителе и знаменателе есть общий множитель $(x-3)$, который можно сократить.

2. 2

   Разложим числитель на множители. Требуется найти два числа, произведение которых $-15$, а сумма $+2$; это $+5$ и $-3$:

   $x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$

3. 3

   Разложим знаменатель как разность квадратов.

   $x^2-9=(x-3)(x+3)$

   В обоих разложениях встречается $(x-3)$, что подтверждает вывод из первого шага.

4. 4

   Сократим общий множитель. При $x\ne 3$ дробь равна

   $\frac{(x+5)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x+5}{x+3}$

   Сокращение допустимо, так как предел при $x\to 3$ не использует само значение при $x=3$, а только значения в окрестности, где $x-3\ne 0$.

5. 5

   Подставим в упрощённое выражение. Полученная функция непрерывна при $x=3$:

   $\frac{3+5}{3+3}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

   Численно: при $x=2{,}9999$ исходная дробь даёт $1{,}33334$, а при $x=3{,}0001$ — $1{,}33333$, оба значения стремятся к $4/3\approx 1{,}3333$.