Найдите ряд Тейлора функции 1/x в окрестности x = 0 или объясните, почему его не существует.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспоминаем, что требуется ряду Тейлора. Разложение $\sum_{n\ge0} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ требует, чтобы $f$ была определена в центре $a$ и имела там производные всех порядков. Оба условия относятся к одной-единственной точке $a$: функция может прекрасно вести себя рядом и всё равно не подойти.

2. 2

   Проверяем самый первый коэффициент. Свободный член равен $f(0) = \tfrac{1}{0}$, а это выражение не определено. Ряд невозможно даже начать, поэтому ряда Тейлора (Маклорена) для $1/x$ с центром в $x = 0$ не существует.

3. 3

   Убеждаемся, что особенность существенная, а не устранимая. $\lim_{x\to 0^{+}} \tfrac1x = +\infty$, тогда как $\lim_{x\to 0^{-}} \tfrac1x = -\infty$, поэтому никаким доопределением в нуле функцию не «залатать». Это настоящий полюс первого порядка, а не устранимая дырка вроде той, что у $\tfrac{\sin x}{x}$.

4. 4

   Приводим разложение, которое всё же существует. Если разрешить отрицательные степени, получится ряд Лорана, и для этой функции он уже записан в окончательном виде:

   $\frac{1}{x} = x^{-1}$

   и верен в проколотой области $0 < |x| < \infty$. Ровно один член $x^{-1}$ и ничего больше — это и означает «простой полюс в начале координат».

5. 5

   Сравниваем с законным центром разложения. В окрестности $a = 1$ функция вполне аналитична:

   $\frac{1}{x} = \frac{1}{1 + (x-1)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (x-1)^n, \qquad |x-1| < 1$

   Радиус $1$ — это в точности расстояние от центра $1$ до особой точки $0$: общее правило, определяющее, как далеко может простираться ряд Тейлора рациональной функции.

6. 6

   Проверяем это разложение численно. При $x = 1.2$ первые шесть членов дают $1 - 0.2 + 0.04 - 0.008 + 0.0016 - 0.00032 = 0.83328$, что сходится к $\tfrac{1}{1.2} = 0.8\overline{3}$.