Продифференцируйте f(x) = x/(x² + 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем правило частного. При $u=x$ и $v=x^2+1$

   $f'=\frac{u'v-uv'}{v^2},\qquad u'=1,\qquad v'=2x$

   Порядок в числителе принципиален: это производная числителя на знаменатель минус числитель на производную знаменателя, и никогда наоборот. Заметим также, что $v=x^2+1\ge1>0$ при любом $x$, поэтому $f$ определена и дифференцируема на всей $\mathbb{R}$.

2. 2

   Подставим в формулу.

   $f'(x)=\frac{(1)\left(x^2+1\right)-(x)(2x)}{\left(x^2+1\right)^2}$

3. 3

   Упростим числитель.

   $x^2+1-2x^2=1-x^2$

   поэтому

   $f'(x)=\frac{1-x^2}{\left(x^2+1\right)^2}$

   Слагаемые с $x^2$ частично сокращаются — именно это превращает громоздкое выражение в аккуратное.

4. 4

   Считаем точки экстремума прямо с ответа. Знаменатель всегда положителен, поэтому знак $f'$ совпадает со знаком $1-x^2=(1-x)(1+x)$. Он положителен на $(-1,1)$ и отрицателен вне этого промежутка, значит при $x=-1$ локальный минимум (там $f=-\tfrac12$), а при $x=1$ локальный максимум (там $f=\tfrac12$).

5. 5

   Отметим поведение на бесконечности. При $|x|\to\infty$ знаменатель растёт как $x^2$, а числитель — как $x$, поэтому $f(x)\to0$: ось $x$ служит горизонтальной асимптотой в обе стороны, а $\pm\tfrac12$ — глобальные наибольшее и наименьшее значения.

6. 6

   Проверим численно. Сравнение замкнутой формулы с симметричными разностными отношениями при шаге $10^{-7}$: при $x=0.4$ обе величины дают $0.624257$; при $x=-1.7$ — $-0.124900$; при $x=3.3$ — $-0.069957$ ✓.