Вычислите сумму 2k / 2^k по k от 1 до бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Выносим постоянный множитель и называем тип ряда. Ряд, у которого член — произведение линейного множителя на геометрический, называется арифметико-геометрическим; он всегда сходится, если знаменатель прогрессии по модулю меньше 1:

   $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{2^{k}}=2\sum_{k=1}^{\infty}k\left(\frac12\right)^{k}$

2. 2

   Выводим ключевую формулу дифференцированием геометрического ряда. Из $\sum_{k\ge 0}x^{k}=\dfrac{1}{1-x}$ дифференцируем и умножаем на $x$:

   $\sum_{k=1}^{\infty}kx^{k-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}\ \Longrightarrow\ \sum_{k=1}^{\infty}kx^{k}=\frac{x}{(1-x)^{2}},\qquad |x|<1$

   Именно дифференцирование и порождает дополнительный множитель $k$; это стандартный способ получать такие формулы, а не заучивать их.

3. 3

   Подставляем $x=\tfrac12$.

   $\sum_{k=1}^{\infty}k\left(\frac12\right)^{k}=\frac{\frac12}{\left(1-\frac12\right)^{2}}=\frac{\frac12}{\frac14}=2$

   Квадрат в знаменателе принципиален: взяв $1-\tfrac12$ вместо $\left(1-\tfrac12\right)^{2}$, получили бы 1.

4. 4

   Умножаем на вынесенную двойку.

   $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{2^{k}}=2\times 2=4$

5. 5

   Проверяем частичными суммами. Первые члены равны $1,1,0.75,0.5,0.3125,\dots$, а накопленная сумма растёт как $1,2,2.75,3.25,3.5625,\dots$, приближаясь к $4$; сложение 200 членов даёт в двойной точности ровно $4.0$ ✓. Сходимость быстрая, потому что геометрический множитель в итоге пересиливает линейный.