Вычислить определённый интеграл от 0 до π: x · (sin 2x − sin x) dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим интеграл по линейности. Каждый слагаемый — это произведение многочлена и тригонометрической функции, что удобно для интегрирования по частям:

   $\int_{0}^{\pi}x\sin2x\,dx-\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx$

   В обоих случаях удобно взять $u=x$ (при дифференцировании исчезает), а $dv$ — синус.

2. 2

   Первый интеграл: $\displaystyle\int x\sin2x\,dx$. Положим $u=x$, $dv=\sin2x\,dx$, тогда $du=dx$, $v=-\tfrac12\cos2x$:

   $\int x\sin2x\,dx=-\frac{x}{2}\cos2x+\frac12\int\cos2x\,dx=-\frac{x}{2}\cos2x+\frac14\sin2x$

   Коэффициенты $\tfrac12$ появляются из-за производной $2x$ по формуле замены переменной.

3. 3

   Вычислим первый интеграл на $[0,\pi]$. При $x=\pi$: $\cos2\pi=1$, $\sin2\pi=0$, получаем $-\tfrac{\pi}{2}$. При $x=0$ оба слагаемых обращаются в ноль. Значит,

   $\int_{0}^{\pi}x\sin2x\,dx=-\frac{\pi}{2}$

   Численное интегрирование (метод Симпсона) даёт $-1{,}5707963$, что совпадает с $-\tfrac\pi2$.

4. 4

   Второй интеграл: $\displaystyle\int x\sin x\,dx$. Положим $u=x$, $dv=\sin x\,dx$, тогда $v=-\cos x$:

   $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int\cos x\,dx=-x\cos x+\sin x$

   При $x=\pi$: $-\pi(-1)+0=\pi$. При $x=0$: $0$. Значит, $\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=\pi$. Численно: $3{,}1415927$ — совпадает.

5. 5

   Вычтем для получения ответа.

   $-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi}{2}\approx-4{,}712389$

   Численное интегрирование исходного выражения даёт $-4{,}71238898$, что подтверждает результат до восьмого знака.

6. 6

   Проверим знак результата. На $(0,\pi)$ слагаемое $-x\sin x$ всегда отрицательно, а $x\sin2x$ даёт положительный вклад на $\left(0,\tfrac\pi2\right)$ и больший по модулю отрицательный на $\left(\tfrac\pi2,\pi\right)$ — там $x$ больше. Оба слагаемых в сумме дают отрицательный результат, что согласуется с $-\tfrac{3\pi}{2}$.