Верно ли: если ряд по тройкам (a_{3n-2} + a_{3n-1} + a_{3n}) сходится и aₙ стремится к 0, то ряд из aₙ сходится? Доказать или привести контрпример.

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём обе гипотезы на язык частичных сумм. Обозначим $S_N=\sum_{k=1}^{N}a_k$. Группировка по три члена не меняет порядок и не пропускает слагаемых, поэтому $n$-я частичная сумма группированного ряда равна

   $\left(a_1+a_2+a_3\right)+\cdots+\left(a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}\right)=S_{3n}$

   Таким образом, первая гипотеза означает, что подпоследовательность $S_{3n}$ сходится к некоторому пределу $S$.

2. 2

   Заметим, что ещё не доказано. Сходимость подпоследовательности не гарантирует сходимость всей последовательности — необходимо проверить, что $S_{3n+1}$ и $S_{3n+2}$ также стремятся к тому же пределу. Именно для этого и нужна вторая гипотеза.

3. 3

   Рассмотрим две промежуточные частичные суммы.

   $S_{3n+1}=S_{3n}+a_{3n+1},\qquad S_{3n+2}=S_{3n}+a_{3n+1}+a_{3n+2}$

   Так как $a_k\to 0$, то и $a_{3n+1}\to 0$, и $a_{3n+2}\to 0$, поэтому

   $S_{3n+1}\to S+0=S,\qquad S_{3n+2}\to S+0+0=S$

4. 4

   Объединим три подпоследовательности. Любой номер $N$ имеет вид $3n$, $3n+1$ или $3n+2$, и все три подпоследовательности $\{S_N\}$ стремятся к одному и тому же пределу $S$. Если последовательность разбивается на конечное число подпоследовательностей, сходящихся к одному пределу, то и вся последовательность сходится к этому пределу:

   $\lim_{N\to\infty}S_N=S\quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}a_n=S$

   $\boxed{\text{Утверждение ВЕРНО}}$

5. 5

   Поясним, почему вторая гипотеза необходима. Без условия $a_n\to 0$ утверждение неверно: например, если взять $a_n=1,-1,0,1,-1,0,\ldots$, то каждая тройка даёт в сумме $0$ и группированный ряд сходится, но частичные суммы $S_N$ циклично принимают значения $1,0,0,1,0,0,\ldots$ и не имеют предела. Здесь $a_n\not\to 0$, что и позволяет избежать сходимости.

6. 6

   Осторожно с часто встречающимся «контрпримером». Иногда в решениях приводят $a_n=\tfrac{(-1)^n}{n}$ как контрпример, но $\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ на самом деле сходится (к $-\ln 2$) по признаку Лейбница, так что это не опровергает утверждение. Любой настоящий контрпример должен нарушать одну из двух гипотез — а по доказанному выше, таких примеров не существует.