Найти общее решение уравнения x'' + kx = 0 при всех значениях постоянной k.

Step-by-step solution

1. 1

   Составим характеристическое уравнение. Подставляя пробное решение $x=e^{rt}$, получаем $x''=r^{2}e^{rt}$, поэтому

   $r^{2}e^{rt}+ke^{rt}=e^{rt}\left(r^{2}+k\right)=0$

   Так как $e^{rt}\neq0$, корни должны удовлетворять $r^{2}=-k$. Дальнейшее зависит от знака $k$, поскольку именно он определяет, будут ли корни действительными или мнимыми.

2. 2

   Случай $k>0$: чисто мнимые корни, колебания. Тогда $-k<0$, значит $r=\pm i\sqrt{k}$. Комплексно-сопряжённая пара с нулевой вещественной частью переходит в синус и косинус:

   $x(t)=C_{1}\cos\!\left(\sqrt{k}\,t\right)+C_{2}\sin\!\left(\sqrt{k}\,t\right)$

   Движение ограничено и периодично с периодом $2\pi/\sqrt{k}$ — это случай гармонических колебаний. Проверка для $k=2.5$ даёт остаток менее $10^{-5}$ ✓.

3. 3

   Случай $k=0$: двукратный корень в нуле. Уравнение упрощается до $x''=0$. Интегрируя дважды,

   $x'=C_{1}\quad\Longrightarrow\quad x(t)=C_{1}t+C_{2}$

   Двойной корень $r=0$ даёт два независимых решения: $1$ и $t$ — дополнительный множитель $t$ появляется по стандартному правилу для кратных корней, поэтому ответ — прямая, а не просто константа.

4. 4

   Случай $k<0$: два вещественных корня, экспоненциальный рост и спад. Теперь $-k>0$, значит $r=\pm\sqrt{-k}$ — действительные и противоположные по знаку:

   $x(t)=C_{1}e^{\sqrt{-k}\,t}+C_{2}e^{-\sqrt{-k}\,t}$

   Решения неограничены (если только $C_{1}=0$) и не осциллируют. Проверка для $k=-2.5$ даёт остаток менее $10^{-4}$ ✓. Эквивалентно: $x=A\cosh(\sqrt{-k}\,t)+B\sinh(\sqrt{-k}\,t)$.

5. 5

   Объединим все три случая.

   $x(t)=\begin{cases}C_{1}\cos\!\left(\sqrt{k}\,t\right)+C_{2}\sin\!\left(\sqrt{k}\,t\right),&k>0\\ C_{1}t+C_{2},&k=0\\ C_{1}e^{\sqrt{-k}\,t}+C_{2}e^{-\sqrt{-k}\,t},&k<0\end{cases}$

   В каждом случае — ровно две произвольные константы, как и должно быть для уравнения второго порядка. Физически $k>0$ — это возвращающая сила (пружина), а $k<0$ — отталкивающая (перевёрнутый маятник).