Ускорение автомобиля в момент времени t равно a(t) = t² − 2t + 3 метра на секунду в квадрате. Скорость при t = 1 равна 8 метрам в секунду; найдите скорость при t = 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Пользуемся связью между ускорением и скоростью. Ускорение — производная скорости, $a(t)=v'(t)$, поэтому по формуле Ньютона — Лейбница приращение скорости на отрезке равно определённому интегралу от $a$:

   $v(3)-v(1)=\int_1^3 a(t)\,dt$

   Работа именно с приращением (а не поиск $v$ с неизвестной постоянной) позволяет аккуратно использовать начальное условие в самом конце.

2. 2

   Находим первообразную многочлена почленно.

   $\int\left(t^2-2t+3\right)dt=\frac{t^3}{3}-t^2+3t$

   Постоянная не нужна: эту первообразную мы будем подставлять в пределы.

3. 3

   Подставляем верхний предел $t=3$.

   $\frac{27}{3}-9+9=9$

4. 4

   Подставляем нижний предел $t=1$.

   $\frac{1}{3}-1+3=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}$

5. 5

   Вычитаем и получаем приращение скорости.

   $\int_1^3 a(t)\,dt=9-\frac{7}{3}=\frac{27-7}{3}=\frac{20}{3}\ \text{м/с}$

6. 6

   Прибавляем начальную скорость.

   $v(3)=v(1)+\frac{20}{3}=8+\frac{20}{3}=\frac{24+20}{3}=\frac{44}{3}\approx 14.67\ \text{м/с}$

   Быстрая прикидка на правдоподобие: на отрезке $[1,3]$ ускорение $a(t)$ лежит между $2$ и $6$, поэтому прирост скорости обязан быть между $4$ и $12$ м/с — и $\tfrac{20}{3}\approx 6.67$ действительно там.