Вычислить интеграл 5y^{2/5} по y.

Step-by-step solution

1. 1

   Вынесем числовой множитель за знак интеграла. Числовой коэффициент можно сразу вынести за знак интеграла:

   $\int 5y^{2/5}\,dy=5\int y^{2/5}\,dy$

2. 2

   Применим правило степени для интегрирования. Для $n\neq -1$ справедливо:

   $\int y^n\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C$

   В данном случае $n=\tfrac25$, что не равно $-1$, поэтому правило применимо.

3. 3

   Прибавим 1 к показателю степени. Приводим к общему знаменателю $5$:

   $\frac{2}{5}+1=\frac{2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{7}{5}$

   $\int y^{2/5}\,dy=\frac{y^{7/5}}{7/5}$

4. 4

   Преобразуем деление на дробь в умножение. Деление на $\tfrac75$ эквивалентно умножению на $\tfrac57$:

   $5\cdot\frac{5}{7}y^{7/5}=\frac{25}{7}y^{7/5}$

   Таким образом, первообразная — $\tfrac{25}{7}y^{7/5}+C$.

5. 5

   Проверим, продифференцировав результат. Производная должна дать исходное выражение:

   $\frac{d}{dy}\left(\frac{25}{7}y^{7/5}\right)=\frac{25}{7}\cdot\frac{7}{5}y^{2/5}=5y^{2/5}\qquad\checkmark$

   Численно при $y=2$ производная равна $5\cdot 2^{0.4}\approx 6.5975$, что совпадает с разностным отношением для первообразной $\checkmark$.