Найдите предел при n, стремящемся к бесконечности, выражения (2n - n³)/(12 + n³). Варианты ответа: нет верного ответа, 0, 5 и 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим старшую степень в числителе и знаменателе. И в числителе, и в знаменателе старшая степень — третья: в числителе главный член $-n^{3}$, в знаменателе — $+n^{3}$. При одинаковых степенях предел равен отношению ведущих коэффициентов.

2. 2

   Разделим все члены на $n^3$. Это позволит строго обосновать рассуждение:

   $\frac{2n-n^{3}}{12+n^{3}}=\frac{\dfrac{2}{n^{2}}-1}{\dfrac{12}{n^{3}}+1}.$

3. 3

   Устремим обратные степени к нулю. И $\dfrac{2}{n^{2}}\to 0$, и $\dfrac{12}{n^{3}}\to 0$, остаётся

   $\lim_{n\to\infty}\frac{0-1}{0+1}=-1.$

4. 4

   Следим за знаком — это принципиально важно. В числителе кубический член отрицательный, поэтому последовательность стремится к $-1$ снизу, и ответ отрицательный. Если ошибочно принять $n^3$ в числителе за положительный, получится соблазнительный, но неверный ответ $1$.

5. 5

   Сравним с предложенными вариантами. Полученное значение $-1$ не совпадает ни с $0$, ни с $5$, ни с $1$. Следовательно, правильный выбор — A: нет верного ответа.

6. 6

   Проверим численно для наглядности. При $n=100$ частное равно $\dfrac{200-1000000}{12+1000000}=-0.9998$, а при $n=1000$ — $-0.999998$, что явно стремится к $-1$.