Найдите ряд Тейлора функции (1 + 2x)^(1/2) в окрестности x = 0, выпишите общий член и укажите промежуток сходимости.

Step-by-step solution

1. 1

   Пользуемся биномиальным рядом, а не многократным дифференцированием. Обобщённая формула бинома гласит

   $(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^{n},\qquad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},$

   и верна при $|t|<1$ и любом вещественном $\alpha$. Сопоставляя с условием: $\alpha=\tfrac12$ и $t=2x$. Вычисление $f^{(n)}(0)$ вручную потребовало бы четырёх применений правила дифференцирования сложной функции ради того же результата.

2. 2

   Считаем первые коэффициенты, не теряя степени двойки. Каждый член имеет вид $\binom{1/2}{n}(2x)^{n}$, поэтому множитель $2^{n}$ обязан дойти до ответа:

   $n=1:\ \tfrac12(2x)=x;\qquad n=2:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)}{2}(4x^{2})=-\tfrac12x^{2};$

   $n=3:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{6}(8x^{3})=\tfrac12x^{3};\qquad n=4:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac52\right)}{24}(16x^{4})=-\tfrac58x^{4}.$

   Потеря $2^{n}$ — самая частая ошибка: она дала бы $\tfrac18x^{2}$ вместо $-\tfrac12x^{2}$.

3. 3

   Выписываем разложение. Собирая слагаемые:

   $\sqrt{1+2x}=1+x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{2}-\frac{5x^{4}}{8}+\cdots$

   Обратите внимание на знаки: начиная с третьего слагаемого они чередуются, потому что каждый множитель $\left(\tfrac12-k\right)$ при $k\ge1$ отрицателен.

4. 4

   Записываем общий член. В замкнутом виде

   $\sqrt{1+2x}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}2^{n}x^{n}=1+x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{n!}\,x^{n},$

   где $(2n-3)!!=1\cdot3\cdots(2n-3)$. Проверка при $n=4$: $\frac{-1\cdot(1\cdot3\cdot5)}{24}=-\frac{15}{24}=-\frac58$ ✓.

5. 5

   Находим промежуток сходимости и проверяем численно. Биномиальному ряду нужно $|t|=|2x|<1$, то есть $|x|<\tfrac12$; так как $\alpha=\tfrac12>0$, ряд сходится абсолютно и на обоих концах, что даёт $\left[-\tfrac12,\tfrac12\right]$. При $x=0.05$ четыре выписанных слагаемых дают $1.0488086$ против $\sqrt{1.1}=1.0488088$ ✓; при $x=0.1$ — $1.0954375$ против $1.0954451$ ✓ — погрешность растёт по мере приближения к концу промежутка, как и следовало ожидать.