Вычислить определённый интеграл sin²(x) cos⁴(x) dx от x = π/8 до x = π/12.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что пределы интегрирования стоят в обратном порядке. Нижний предел $\tfrac{\pi}{8}=0{,}3927$ больше верхнего $\tfrac{\pi}{12}=0{,}2618$. Так как $\sin^2x\cos^4x\ge 0$ при всех $x$, значение интеграла обязательно будет отрицательным:

   $\int_{\pi/8}^{\pi/12}=-\int_{\pi/12}^{\pi/8}$

   Определение знака заранее — простой способ проверить итоговый результат.

2. 2

   Понизим степени с помощью формул понижения степени. Оба показателя степени чётные, поэтому удобно воспользоваться понижением степени (а не заменой переменной):

   $\sin^2x\cos^4x=\frac{1-\cos 2x}{2}\cdot\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^2=\frac{(1+\cos 2x)\left(1-\cos^2 2x\right)}{8}=\frac{\sin^2 2x+\sin^2 2x\cos 2x}{8}$

   Такое разложение выбрано специально: первая часть требует ещё одного понижения степени, а вторая — идеальна для замены переменной.

3. 3

   Найдём первообразную по частям. Для первого слагаемого используем $\sin^2 2x=\tfrac{1-\cos 4x}{2}$, для второго — замену $u=\sin 2x$:

   $\int\sin^2 2x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 4x}{8},\qquad \int \sin^2 2x\cos 2x\,dx=\frac{\sin^3 2x}{6}$

   Итак,

   $F(x)=\frac{x}{16}-\frac{\sin 4x}{64}+\frac{\sin^3 2x}{48}$

4. 4

   Подставим пределы интегрирования. При $x=\tfrac{\pi}{12}$: $\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$ и $\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12$, значит

   $F\!\left(\tfrac{\pi}{12}\right)=\frac{\pi}{192}-\frac{\sqrt3}{128}+\frac{1}{384}$

   При $x=\tfrac{\pi}{8}$: $\sin\tfrac{\pi}{2}=1$ и $\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}$, а $\sin^3\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{4}$, поэтому

   $F\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right)=\frac{\pi}{128}-\frac{1}{64}+\frac{\sqrt2}{192}$

5. 5

   Вычислим разность и приведём к общему знаменателю 384.

   $F\!\left(\tfrac{\pi}{12}\right)-F\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right)=-\frac{\pi}{384}+\frac{7}{384}-\frac{3\sqrt3}{384}-\frac{2\sqrt2}{384}=\frac{7-\pi-3\sqrt3-2\sqrt2}{384}$

   В числовом виде $7-3{,}14159-5{,}19615-2{,}82843=-4{,}16617$, делим на $384$ — получаем $\approx -0{,}010849$. Знак минус соответствует обратному порядку пределов. Численное интегрирование исходной функции по тем же пределам даёт $-0{,}0108494$ $\checkmark$.