Вычислить двойной интеграл e^{-(x²+y²)} по области x² + y² ≤ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Почему декартовы координаты не подходят. Если рассматривать интеграл по $x$ и $y$, то внутренняя часть будет $\int e^{-x^2}dx$, а её первообразная не выражается через элементарные функции. Как подынтегральная функция, так и область интегрирования зависят только от расстояния до начала координат, поэтому именно переход к полярным координатам делает задачу решаемой — не просто удобной, а принципиально возможной.

2. 2

   Переход к полярным координатам: преобразование подынтегральной функции, области и элемента площади. При $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ имеем:

   $x^2+y^2=r^2,\qquad dA=r\,dr\,d\theta,\qquad x^2+y^2\le 1\iff 0\le r\le 1$

   Следовательно,

   $\iint_{x^2+y^2\le 1}e^{-(x^2+y^2)}dA=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta$

   Дополнительный множитель $r$ (якобиан перехода) — ключевой момент: именно он позволяет использовать замену переменной $u$.

3. 3

   Выполним интегрирование по радиусу с заменой $u=r^2$. Пусть $u=r^2$, тогда $du=2r\,dr$, то есть $r\,dr=\tfrac12\,du$, а $u$ меняется от $0$ до $1$:

   $\int_0^1 e^{-r^2}r\,dr=\frac12\int_0^1 e^{-u}du=\frac12\left[-e^{-u}\right]_0^1=\frac12\left(1-e^{-1}\right)$

4. 4

   Интегрируем по углу. Полученное выражение по радиусу — постоянная, а полный круг даёт вклад $2\pi$:

   $\int_0^{2\pi}\frac12\left(1-e^{-1}\right)d\theta=2\pi\cdot\frac12\left(1-e^{-1}\right)=\pi\left(1-e^{-1}\right)$

5. 5

   Вычислим численно и проверим границы.

   $\pi\left(1-\frac{1}{e}\right)\approx \pi(1-0.36788)\approx 1.9858$

   На единичном круге подынтегральная функция принимает значения от $e^{-1}\approx 0.368$ (на границе) до $1$ (в центре), а площадь круга $\pi\approx 3.1416$. Значит, интеграл должен лежать между $0.368\pi\approx 1.156$ и $\pi\approx 3.142$, и $1.9858$ этим условиям соответствует. Если продлить вычисление на $r\to\infty$, получится $\pi$ — классический результат, лежащий в основе $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$. $\checkmark$