Вычислить тройной интеграл от 4x²·z³·y, где x меняется от 2 до 3, y — от 1 до 2, z — от 0 до 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что подынтегральная функция разделяется. Выражение $4x^2z^3y$ есть произведение $\left(4x^2\right)\cdot(y)\cdot\left(z^3\right)$, где на каждую переменную приходится ровно один множитель, а у области интегрирования по всем переменным постоянные пределы. При этих двух условиях тройной интеграл распадается в произведение трёх однократных.

2. 2

   Проинтегрируем по $x$ от 2 до 3. $\displaystyle\int_2^3 4x^2\,dx=\left[\frac{4x^3}{3}\right]_2^3=\frac{4(27-8)}{3}=\frac{76}{3}$.

3. 3

   Проинтегрируем по $y$ от 1 до 2. $\displaystyle\int_1^2 y\,dy=\left[\frac{y^2}{2}\right]_1^2=\frac{4-1}{2}=\frac32$.

4. 4

   Проинтегрируем по $z$ от 0 до 1. $\displaystyle\int_0^1 z^3\,dz=\left[\frac{z^4}{4}\right]_0^1=\frac14$.

5. 5

   Перемножим три результата. $\frac{76}{3}\cdot\frac32\cdot\frac14=\frac{76}{8}=\frac{19}{2}=9.5$.

6. 6

   Проверим численно. Вложенное применение составной формулы Симпсона к тому же повторному интегралу даёт $9.4999999\ldots$, что совпадает с точным значением $\tfrac{19}{2}$ до семи знаков.