Вычислить двойной интеграл x + 2y по области, где 1 ≤ x² + y² ≤ 4, y ≥ x, x ≤ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Переход к полярным координатам, так как область ограничена окружностями. Подставим

   $x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad dA = r\,dr\,d\theta$

   Условие кольца переписывается как $1 \le r \le 2$, не зависящее от $\theta$ — именно это упрощение и оправдывает замену переменных на полярные.

2. 2

   Переводим первое угловое условие. $x \le 0$ означает $r\cos\theta \le 0$, а так как $r > 0$:

   $\cos\theta \le 0 \ \Longrightarrow \ \theta \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$

   Это соответствует левой полуплоскости.

3. 3

   Переводим второе угловое условие. $y \ge x$ означает $\sin\theta \ge \cos\theta$. Перепишем разность как одно синусное выражение:

   $\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\,\sin\!\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) \ge 0 \ \Longrightarrow \ \theta \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$

   Пересечение двух диапазонов даёт сектор

   $\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$

   — угол $3\pi/4$. Ошибка в пересечении — основная ловушка задачи.

4. 4

   Преобразуем подынтегральное выражение с учётом Якобиана.

   $(x + 2y)\,dA = r(\cos\theta + 2\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta = r^2(\cos\theta + 2\sin\theta)\,dr\,d\theta$

   Дополнительный множитель $r$ из $dA$ превращает $r^1$ в $r^2$ — забыть его в полярных координатах очень типично.

5. 5

   Интеграл разделяется; вычислим радиальную часть. Так как пределы по $r$ не зависят от $\theta$:

   $\int_1^2 r^2\,dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_1^2 = \frac{8 - 1}{3} = \frac{7}{3}$

6. 6

   Вычислим угловую часть и соберём ответ.

   $\int_{\pi/2}^{5\pi/4} (\cos\theta + 2\sin\theta)\,d\theta = \bigl[\sin\theta - 2\cos\theta\bigr]_{\pi/2}^{5\pi/4}$

   При $\theta = 5\pi/4$ синус и косинус равны $-\frac{\sqrt2}{2}$, получаем $-\frac{\sqrt2}{2} + \sqrt2 = \frac{\sqrt2}{2}$; при $\theta = \pi/2$ — $1 - 0 = 1$. Значит, угловой интеграл $\frac{\sqrt2}{2} - 1$, и

   $\iint_D (x+2y)\,dA = \frac{7}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right) = \frac{7}{6}\left(\sqrt{2} - 2\right) \approx -0.6834$

   Отрицательное значение ожидаемо: сектор в основном лежит при $x < 0$. Квадратурой по полярным получаем $-0.68341751$, Монте-Карло по исходным условиям — $-0.681$.