Вычислить определённый интеграл от x = −2 до x = 2 функции (x³·cos(x/2) + 1/2), умноженной на квадратный корень из (4 − x²).

Step-by-step solution

1. 1

   Разбиваем интеграл, не пытаясь искать первообразную. У множителя $x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}$ первообразная не выражается через элементарные функции, поэтому любая замена переменной или интегрирование по частям обречены. Зато отрезок симметричен относительно $0$, так что разобьём интеграл:

   $\int_{-2}^{2}x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx+\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx.$

2. 2

   Определяем чётность первого слагаемого. Функция $x^{3}$ нечётная; $\cos\frac{x}{2}$ чётная; $\sqrt{4-x^{2}}$ чётная. Нечётная $\times$ чётная $\times$ чётная — нечётная, поэтому вся подынтегральная функция удовлетворяет условию $f(-x)=-f(x)$. На симметричном отрезке интеграл любой нечётной функции равен нулю: площадь со знаком на $[-2,0]$ в точности уничтожает площадь на $[0,2]$:

   $\int_{-2}^{2}x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=0.$

   В этом и весь смысл задачи — страшное на вид слагаемое лишь отвлекает внимание.

3. 3

   Узнаём во втором слагаемом полукруг. Кривая $y=\sqrt{4-x^{2}}$ равносильна $x^{2}+y^{2}=4$ при $y\ge 0$, то есть это верхняя половина окружности радиуса $2$. Значит, интеграл — это геометрическая площадь, и первообразную искать не нужно:

   $\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\pi r^{2}=\frac{1}{2}\pi(2)^{2}=2\pi.$

4. 4

   Собираем всё вместе. Умножаем площадь полукруга на постоянный множитель $\tfrac12$ и прибавляем обратившееся в нуль нечётное слагаемое:

   $\int_{-2}^{2}\left(x^{3}\cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^{2}}\,dx=0+\frac{1}{2}(2\pi)=\pi.$

5. 5

   Проверяем численно. Составная формула Симпсона на $[-2,2]$ даёт $3.1415926$ для полной подынтегральной функции и $2\times10^{-16}$ для одного нечётного слагаемого, что подтверждает и точное значение $\pi\approx 3.14159$, и рассуждение о взаимном уничтожении.