Вычислить двойной интеграл (4 − y) по области D, ограниченной прямыми x = 4, y = −2 и x − y = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим три вершины треугольника. Пересечём граничные прямые попарно: $x=4$ и $y=-2$ дают точку $(4,-2)$; $x=4$ и $y=x$ — $(4,4)$; $y=-2$ и $y=x$ — $(-2,-2)$. Таким образом, $D$ — треугольник с вершинами $(-2,-2)$, $(4,-2)$ и $(4,4)$.

2. 2

   Выбираем порядок интегрирования. Удобнее всего интегрировать по $y$ при фиксированном $x$: для каждого $x$ от $-2$ до $4$ переменная $y$ изменяется от нижней границы $y=-2$ до наклонной стороны $y=x$. Это даёт $\displaystyle\int_{-2}^{4}\!\!\int_{-2}^{x}(4-y)\,dy\,dx$. Заметим, что $x\ge -2$ на всём промежутке, поэтому верхний предел не меньше нижнего.

3. 3

   Выполним внутренний интеграл по $y$. $\displaystyle\int_{-2}^{x}(4-y)\,dy=\left[4y-\frac{y^2}{2}\right]_{-2}^{x}=\left(4x-\frac{x^2}{2}\right)-\left(-8-2\right)=4x-\frac{x^2}{2}+10$.

4. 4

   Выполним внешний интеграл по $x$. $\displaystyle\int_{-2}^{4}\left(4x-\frac{x^2}{2}+10\right)dx=\left[2x^2-\frac{x^3}{6}+10x\right]_{-2}^{4}$.

5. 5

   Подставим пределы интегрирования. При $x=4$: $32-\frac{64}{6}+40=72-\frac{32}{3}=\frac{184}{3}$. При $x=-2$: $8+\frac{8}{6}-20=-12+\frac43=-\frac{32}{3}$. Разность равна $\frac{184}{3}+\frac{32}{3}=\frac{216}{3}=72$.

6. 6

   Проверим результат через центр тяжести. Площадь треугольника $\tfrac12\cdot 6\cdot 6=18$, ордината центра тяжести $\bar y=\frac{-2-2+4}{3}=0$, значит, $\iint_D(4-y)\,dA=4\cdot 18-18\bar y=72-0=72$. Численное вычисление по формуле Симпсона также даёт $72{,}0$.