Вычислить интеграл dx / ((x − 1) √(−x² + 2x + 3)).

Step-by-step solution

1. 1

   Выделим полный квадрат под корнем. Подкоренное выражение:

   $-x^{2}+2x+3=4-(x-1)^{2}$

   Следовательно, интеграл определён только при $|x-1|<2$, то есть $-1<x<3$, $x\neq 1$. Совпадение $(x-1)$ снаружи и внутри радикала подсказывает подходящую замену.

2. 2

   Выполним взаимно обратную подстановку. Для интеграла вида $\dfrac{1}{(x-a)\sqrt{\text{квадратный трехчлен}}}$ удобно положить $x-a=\dfrac1t$. Здесь

   $x-1=\frac1t\quad\Longrightarrow\quad dx=-\frac{dt}{t^{2}}$

   (Обязательно учесть минус: производная $1/t$ по $t$ равна $-1/t^{2}$. Если его опустить, знак ответа будет неверным.)

3. 3

   Преобразуем радикал. Так как $(x-1)^{2}=\tfrac{1}{t^{2}}$,

   $\sqrt{4-(x-1)^{2}}=\sqrt{4-\frac{1}{t^{2}}}=\frac{\sqrt{4t^{2}-1}}{|t|}$

4. 4

   Соберём преобразованный интеграл.

   $I=\int\frac{-\dfrac{dt}{t^{2}}}{\dfrac1t\cdot\dfrac{\sqrt{4t^{2}-1}}{|t|}}=-\int\frac{|t|}{t}\cdot\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}=-\operatorname{sgn}(t)\int\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}$

   Все множители $t^{2}$ сокращаются — в этом и смысл подстановки.

5. 5

   Вычислим стандартный интеграл и вернёмся к x. Известно, что $\displaystyle\int\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}=\frac12\ln\left|2t+\sqrt{4t^{2}-1}\right|+C$, а $2t+\sqrt{4t^{2}-1}=\dfrac{2\operatorname{sgn}(x-1)+\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{|x-1|}$. Знак объединяется с логарифмом, получаем итоговую формулу:

   $\boxed{I=-\frac12\ln\left|\frac{2+\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{x-1}\right|+C}$

   Она работает как для $-1<x<1$, так и для $1<x<3$.

6. 6

   Проверим дифференцированием и численно. Производная полученного выражения снова даёт $\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{-x^{2}+2x+3}}$. Численно: $\displaystyle\int_{1.5}^{2.5}\frac{dx}{(x-1)\sqrt{-x^{2}+2x+3}}=0.634036$, а разность значений формулы $F(2.5)-F(1.5)=0.634036$ ✓; на другой ветви $\displaystyle\int_{0.2}^{0.8}=-0.713212$ и формула также даёт $-0.713212$ ✓.

7. 7

   Обратите внимание на два знаковых подвоха. Так как $(2+\sqrt{\cdot})(2-\sqrt{\cdot})=(x-1)^{2}$, альтернативная запись $\tfrac12\ln\left|\tfrac{2-\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{x-1}\right|$ отличается только на константу и также допустима; однако вариант без минуса перед логарифмом неверен на обеих ветвях, а если ошибочно взять $dx=+dt/t^{2}$ вместо $-dt/t^{2}$, то знак всей первообразной поменяется.