Найти интервал сходимости суммы от n = 1 до ∞: (–1)ⁿ (1/n – 1/(n+2)) xⁿ.

Step-by-step solution

1. 1

   Преобразуем коэффициент к одной дроби. Приведём к общему знаменателю $n(n+2)$:

   $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}=\frac{(n+2)-n}{n(n+2)}=\frac{2}{n(n+2)}$

   Проверено для всех $n$ до $59$ ✓. В такой форме сразу видно, как быстро убывают коэффициенты, что в исходной разности не так очевидно.

2. 2

   Внесём знак в переменную. Так как $(-1)^{n}x^{n}=(-x)^{n}$, ряд можно записать как

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+2)}(-x)^{n}$

   Это степенной ряд по $-x$ с положительными коэффициентами, что упрощает анализ — а интервал по $x$ всё равно получится симметричным.

3. 3

   Находим радиус сходимости по признаку Даламбера. Пусть $c_{n}=\dfrac{2}{n(n+2)}$,

   $\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right|=\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+3)}\longrightarrow1$

   (численно: $0{,}8392$ при $n=10$, $0{,}98049$ при $n=100$, $0{,}998005$ при $n=1000$ ✓). Значит, радиус сходимости $R=1$: ряд сходится при $|x|<1$ и расходится при $|x|>1$. Концы интервала требуют отдельной проверки.

4. 4

   Проверим $x=1$. Тогда члены ряда равны $\dfrac{2(-1)^{n}}{n(n+2)}$, причём

   $\frac{2}{n(n+2)}\sim\frac{2}{n^{2}}$

   Сравнение с $p$-рядом $\sum n^{-2}$ ($p=2>1$) показывает, что ряд сходится абсолютно ✓.

5. 5

   Проверим $x=-1$. Теперь $(-x)^{n}=1$, и ряд становится положительной телескопической суммой

   $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=1+\frac12=\frac32$

   так как все внутренние слагаемые сокращаются, а $\tfrac{1}{n+1}+\tfrac{1}{n+2}\to0$. Частичная сумма до $n=19999$ даёт $1{,}49990$ ✓, что подтверждает сходимость к $\tfrac32$.

6. 6

   Записываем ответ. Оба конца интервала входят, значит

   $[-1,1]$

   — это интервал сходимости, то есть замкнутый интервал. Такое возможно благодаря убыванию коэффициентов по закону $1/n^{2}$. Если бы убывали как $1/n$, один из концов не входил бы.