Вычислить 1/(a+b), умноженное на интеграл по θ от 0 до arctg(b/a) от внутреннего интеграла r² dr в пределах от 0 до a/cos θ.

Step-by-step solution

1. 1

   Разбираемся с областью интегрирования. Внешний предел $r=\dfrac{a}{\cos\theta}$ — это полярное уравнение вертикальной прямой $x=a$, а $\theta$ пробегает значения от $0$ до $\arctan(b/a)$. Значит, заметается прямоугольный треугольник с вершинами $(0,0)$, $(a,0)$ и $(a,b)$ — понимание этого делает пределы осмысленными, а не взятыми с потолка.

2. 2

   Берём внутренний интеграл по $r$.

   $\int_{0}^{a/\cos\theta}r^{2}\,dr=\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{a/\cos\theta}=\frac{a^{3}}{3\cos^{3}\theta}=\frac{a^{3}}{3}\sec^{3}\theta$

   Именно куб верхнего предела превращает простую степенную функцию в задачу с секансом в кубе.

3. 3

   Вспоминаем первообразную секанса в кубе. Это стандартный результат интегрирования по частям:

   $\int\sec^{3}\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\left(\sec\theta\tan\theta+\ln\left|\sec\theta+\tan\theta\right|\right)+C$

   Это единственный фрагмент вычисления, который не берётся обычной заменой переменной.

4. 4

   Подставляем верхний предел. При $\theta_{0}=\arctan(b/a)$ геометрия прямоугольного треугольника даёт

   $\tan\theta_{0}=\frac{b}{a},\qquad\sec\theta_{0}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}$

   поэтому $\sec\theta_{0}\tan\theta_{0}=\dfrac{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a^{2}}$ и $\sec\theta_{0}+\tan\theta_{0}=\dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}$. При $\theta=0$ обе величины $\sec\theta\tan\theta$ и $\ln|\sec\theta+\tan\theta|=\ln1$ обращаются в нуль.

5. 5

   Собираем ответ в замкнутом виде. Объединяя константы $\dfrac{a^{3}}{3}\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{1}{a+b}$:

   $\frac{a^{3}}{6(a+b)}\left(\frac{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a^{2}}+\ln\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}\right)$

   или, раскрывая первое слагаемое,

   $\frac{ab\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{6(a+b)}+\frac{a^{3}}{6(a+b)}\ln\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}$

6. 6

   Проверяем численно при нескольких значениях параметров. Квадратура Симпсона для $\dfrac{a^{3}\sec^{3}\theta}{3(a+b)}$ и замкнутая формула дают при $(a,b)=(1,1)$ одно и то же $0.1912989291$; при $(2,3)$ — $1.0397137797$; при $(0.7,1.9)$ — $0.2105370143$ ✓, то есть совпадение лучше $10^{-8}$ в каждом случае.