Сколько целых значений m делают функцию f(x) = (mx − 4)/(x − m) возрастающей на промежутке (0, +∞)?

Step-by-step solution

1. 1

   Дифференцируем по правилу частного и следим, как сокращается числитель.

   $f'(x)=\frac{m(x-m)-(mx-4)\cdot 1}{(x-m)^2}=\frac{mx-m^2-mx+4}{(x-m)^2}=\frac{4-m^2}{(x-m)^2}$

   Слагаемые с $x$ взаимно уничтожаются, поэтому у $f'$ постоянный числитель. Это общее свойство дробно-линейной функции $\frac{ax+b}{cx+d}$: знак её производной определяется числом $ad-bc$ и внутри одной ветви не меняется.

2. 2

   Переводим знак $f'$ в условие на $m$. Знаменатель $(x-m)^2$ положителен всюду, где $f$ определена, поэтому

   $f'(x)>0\iff 4-m^2>0\iff -2<m<2.$

   Концы промежутка нужно именно исключить: при $m=\pm2$ получаем $f'\equiv0$, и функция вырождается в постоянную $2$ или $-2$ (например, при $m=2$ имеем $\frac{2x-4}{x-2}=2$), а постоянная не возрастает.

3. 3

   Добавляем условие, что промежуток обязан лежать внутри одной ветви. Положительная производная гарантирует рост лишь на каждом связном куске области определения. Точка $x=m$ — вертикальная асимптота, и если она попадает внутрь $(0,+\infty)$, функция скачком переходит от $+\infty$ к $-\infty$, а значит, на всём промежутке не возрастает. Поэтому требуется ещё

   $m\notin(0,+\infty)\quad\Longleftrightarrow\quad m\le 0.$

4. 4

   Посмотрим на сбой конкретно при $m=1$. Тогда $f(x)=\frac{x-4}{x-1}$, причём $f(0.5)=7$, а $f(2)=-2$. Производная положительна по обе стороны от $x=1$, но через асимптоту функция убывает — ровно та ловушка, ради которой и добавлено дополнительное условие.

5. 5

   Пересекаем оба условия.

   $-2<m<2\quad\text{и}\quad m\le 0\qquad\Longrightarrow\qquad -2<m\le 0$

6. 6

   Считаем целые числа. В промежутке $(-2,\,0]$ лежат $m=-1$ и $m=0$, то есть их ровно $\mathbf{2}$. Быстрая проверка при $m=0$: $f(x)=-\frac{4}{x}$ растёт от $-\infty$ к $0$ на $(0,\infty)$ — действительно возрастает.