Найти обратное преобразование Лапласа для 0,4·e^(−s) + 0,2·e^(−2s) + 0,4·e^(−3s).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала проверяется знак показателя степени. В области Лапласа функции обычно содержат множитель $e^{-as}$ при $a > 0$; множитель $e^{+as}$ означал бы сдвиг назад по времени и не соответствует преобразованию Лапласа причинной функции. Поэтому выражения с $e^{s}$, $e^{2s}$, $e^{3s}$ нужно читать как $e^{-s}$, $e^{-2s}$, $e^{-3s}$, прежде чем выполнять обратное преобразование.

2. 2

   Обращается внимание, что к экспонентам не приписано никакое F(s). Вторая теорема о сдвиге гласит:

   $\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\} = u(t-a)\,f(t-a)$

   Здесь каждая экспонента стоит отдельно, то есть $F(s) = 1$. Обратное преобразование от $1$ — это не обычная функция, а дельта-функция Дирака $\delta(t)$, поскольку $\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1$.

3. 3

   Применяется правило сдвига дельта-функции к каждому слагаемому. Объединяя эти факты:

   $\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-as}\right\} = \delta(t - a)$

   Таким образом, три слагаемых переходят в импульсы при $t = 1$, $t = 2$ и $t = 3$ соответственно.

4. 4

   Используется линейность преобразования для составления ответа. Обратное преобразование Лапласа линейно, поэтому коэффициенты переходят напрямую:

   $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{2}{5}\delta(t-1) + \frac{1}{5}\delta(t-2) + \frac{2}{5}\delta(t-3)$

   Это — три импульса с амплитудами $0{,}4$, $0{,}2$ и $0{,}4$.

5. 5

   Проверяется обратным преобразованием. Используя $\int_0^\infty \delta(t-a)e^{-st}\,dt = e^{-as}$ для каждого импульса, восстанавливается $\tfrac25 e^{-s} + \tfrac15 e^{-2s} + \tfrac25 e^{-3s}$ в точности. Заметим, что коэффициенты складываются: $\tfrac25 + \tfrac15 + \tfrac25 = 1$, то есть суммарная сила импульсов равна $1$ — как и площадь единственной $\delta(t)$, только распределённой по трём моментам времени.