Найти производную h(x) = (2x+1)⁵(x²−1)³ и разложить результат на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем правило произведения. Функция представляет собой произведение двух сложных степенных выражений, поэтому обозначим

   $u = (2x+1)^5, \qquad v = \left(x^2-1\right)^3, \qquad h' = u'v + uv'$

   Если бы сначала раскрыли $h$, получили бы многочлен 11-й степени; использование правила произведения позволяет сохранить множители, что важно для последующего разложения.

2. 2

   Дифференцируем каждый множитель по цепному правилу. Внешняя производная умножается на внутреннюю:

   $u' = 5(2x+1)^4 \cdot 2 = 10(2x+1)^4$

   $v' = 3\left(x^2-1\right)^2 \cdot 2x = 6x\left(x^2-1\right)^2$

   Именно на вычислении внутренних производных $2$ и $2x$ часто допускаются ошибки при применении цепного правила.

3. 3

   Соберём оба слагаемых.

   $h'(x) = 10(2x+1)^4\left(x^2-1\right)^3 + 6x(2x+1)^5\left(x^2-1\right)^2$

   В каждом слагаемом степень одного из множителей уменьшена на единицу по сравнению с $h$, поэтому общий множитель гарантированно существует.

4. 4

   Вынесем наименьшую степень каждого скобочного множителя. В обоих слагаемых содержатся $(2x+1)^4$ и $\left(x^2-1\right)^2$:

   $h'(x) = (2x+1)^4\left(x^2-1\right)^2\Big[10\left(x^2-1\right) + 6x(2x+1)\Big]$

5. 5

   Упростим выражение в скобках и вынесем числовой множитель.

   $10x^2 - 10 + 12x^2 + 6x = 22x^2 + 6x - 10 = 2\left(11x^2 + 3x - 5\right)$

   $h'(x) = 2(2x+1)^4\left(x^2-1\right)^2\left(11x^2+3x-5\right)$

   Последний квадратный трёхчлен имеет дискриминант $9 + 220 = 229$, который не является точным квадратом, поэтому дальше по рациональным числам не разлагается.

6. 6

   Проверим результат численно и определим критические точки. Центральная разность при $x = 0$ даёт $h'(0) \approx -10.000$, что совпадает с $2(1)(1)(-5) = -10$; аналогичная проверка при $x = 0{,}3,\ 1{,}7,\ -2{,}1$ даёт совпадение до шести знаков. Нули $h'$: $x = -\tfrac12$, $x = \pm 1$ (из кратных множителей, которые также являются нулями $h$), а также $x = \frac{-3 \pm \sqrt{229}}{22}$.