Найти частную производную по t от d = (Vy · 100)/(Vm + Vm20 · (t − 20) · b) − 100, считая Vy, Vm, Vm20 и b константами.

Step-by-step solution

1. 1

   Отбросим слагаемое −100 и обозначим знаменатель. Производная от $-100$ равна нулю, поэтому оно не влияет на результат. Обозначим

   $D=V_m+V_{m20}(t-20)b,$

   тогда функция принимает вид

   $d=100V_y\,D^{-1}-100.$

   Запись дроби как отрицательной степени позволяет использовать цепное правило вместо правила частного.

2. 2

   Найдём производную $D$ по $t$. Только множитель $(t-20)$ зависит от $t$, его производная равна $1$:

   $\frac{\partial D}{\partial t}=V_{m20}b.$

   Заметим, что $-20$ — это сдвиг, а не множитель, поэтому в производной не появляется.

3. 3

   Применим цепное правило к $D^{-1}$.

   $\frac{\partial}{\partial t}\bigl(D^{-1}\bigr)=-D^{-2}\frac{\partial D}{\partial t}=-\frac{V_{m20}b}{D^{2}}.$

4. 4

   Умножим на постоянный множитель.

   $\frac{\partial d}{\partial t}=100V_y\left(-\frac{V_{m20}b}{D^{2}}\right)=-\frac{100\,V_y\,V_{m20}\,b}{\bigl(V_m+V_{m20}(t-20)b\bigr)^{2}}.$

5. 5

   Поясним знак производной. Квадрат в знаменателе всегда положителен, поэтому знак $\partial d/\partial t$ противоположен знаку $V_y V_{m20} b$ и не меняется при изменении $t$. Если коэффициент расширения $b=0$, производная тождественно равна нулю, что логично: при $b=0$ переменная $t$ исчезает из формулы.