Найти производную y = 10x³ − x² + 4x − 15 и решить уравнение y' = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Применим правило степени к каждому слагаемому. Для многочлена каждое слагаемое дифференцируется отдельно по формуле $\left(x^{n}\right)^{\prime}=nx^{n-1}$, а производная константы равна нулю: $\left(10x^{3}\right)^{\prime}=30x^{2}$, $\left(-x^{2}\right)^{\prime}=-2x$, $(4x)^{\prime}=4$, $(-15)^{\prime}=0$.

2. 2

   Запишем найденную производную. Складывая все части, получаем: $y^{\prime}=30x^{2}-2x+4 .$

3. 3

   Приравняем производную к нулю и упростим уравнение. Решение $y^{\prime}=0$ сводится к уравнению $30x^{2}-2x+4=0$. Все коэффициенты чётные, поэтому разделим на $2$: $15x^{2}-x+2=0 .$

4. 4

   Проверим дискриминант, не вычисляя корни. При $A=15$, $B=-1$, $C=2$ имеем: $D=B^{2}-4AC=(-1)^{2}-4(15)(2)=1-120=-119<0 .$ Отрицательный дискриминант означает, что квадратное уравнение не имеет вещественных корней.

5. 5

   Дадим геометрическую интерпретацию результата. Так как $y^{\prime}=30x^{2}-2x+4$ нигде не обращается в ноль, а старший коэффициент положителен, то $y^{\prime}>0$ при любом вещественном $x$. Следовательно, кубическая функция всюду возрастает, не имеет горизонтальных касательных и локальных экстремумов.