Найти dy/dx для x sec y = 4y - y tan 2x.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассматриваем $y$ как функцию от $x$ на всём протяжении решения. Уравнение не выражается явно относительно $y$, поэтому обе части дифференцируются по $x$, причём при каждом $y$ появляется скрытый множитель $\dfrac{dy}{dx}$ по цепному правилу. В обеих частях есть произведения множителей с $x$ и $y$, поэтому правило произведения применяется дважды.

2. 2

   Дифференцируем левую часть. Пусть $u = x$, $v = \sec y$. Используется $\dfrac{d}{dx}\sec y = \sec y\tan y\,\dfrac{dy}{dx}$: $\frac{d}{dx}\left(x\sec y\right)=\sec y + x\sec y\tan y\,\frac{dy}{dx}.$

3. 3

   Дифференцируем правую часть, учитывая внутренний множитель $2$. Для $4y$ получается $4\dfrac{dy}{dx}$. Для $y\tan 2x$ применяется правило произведения и цепное правило (заметим: $\dfrac{d}{dx}\tan 2x = 2\sec^{2}2x$, а не $\sec^{2}2x$): $\frac{d}{dx}\left(y\tan 2x\right)=\frac{dy}{dx}\tan 2x + 2y\sec^{2}2x,$ значит, вся правая часть дифференцируется как $4\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}\tan 2x-2y\sec^{2}2x.$ Пропуск множителя $2$ — самая частая ошибка в этой задаче.

4. 4

   Собираем слагаемые с $\dfrac{dy}{dx}$ в одной части. Приравниваем производные: $\sec y + x\sec y\tan y\,\frac{dy}{dx}=4\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}\tan 2x-2y\sec^{2}2x,$ и переносим все слагаемые с $\dfrac{dy}{dx}$ вправо, остальные — влево: $\sec y + 2y\sec^{2}2x=\frac{dy}{dx}\left(4-\tan 2x-x\sec y\tan y\right).$

5. 5

   Делим обе части для выделения производной. $\frac{dy}{dx}=\frac{\sec y + 2y\sec^{2}2x}{4-\tan 2x-x\sec y\tan y}.$ Итоговое выражение зависит и от $x$, и от $y$, что нормально для неявной кривой: чтобы получить число, требуется точка, удовлетворяющая исходному уравнению.

6. 6

   Проверяем по теореме о неявной функции. Обозначим $F(x,y)=x\sec y-4y+y\tan 2x$, тогда $F_{x}=\sec y+2y\sec^{2}2x$, $F_{y}=x\sec y\tan y-4+\tan 2x$, и $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_{x}}{F_{y}}$ даёт то же выражение. Численная проверка: при $x=0.3$ кривая проходит через $y=0.09084883$, и центральная разность по неявно найденному $y(x)$ даёт $0.38647161$, а формула — $0.38647161$.