Вычислить двойной интеграл от x·e^(−y²) по области, где √y/3 ≤ x ≤ √y/2 и 0 ≤ y < ∞.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала проинтегрируем по $x$ — порядок интегрирования уже удобный. Область ограничена слева и справа кривыми, заданными как $x$ через $y$, поэтому $dx$ удобно брать внутренним интегралом. Кроме того, $e^{-y^{2}}$ при интегрировании по $x$ считается постоянным, что важно, так как у $e^{-y^{2}}$ нет элементарной первообразной по $y$; откладывание интегрирования по $y$ — необходимый шаг.

   $\int_{\sqrt y/3}^{\sqrt y/2} x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{\sqrt y/3}^{\sqrt y/2}.$

2. 2

   Вычислим выражение в квадратных скобках. Возведение пределов в квадрат убирает корни: $(\sqrt y/2)^{2}=y/4$ и $(\sqrt y/3)^{2}=y/9$. Получаем:

   $\frac12\left(\frac{y}{4}-\frac{y}{9}\right)=\frac12\cdot\frac{9y-4y}{36}=\frac{5y}{72}.$

   Таким образом, «полоса» между кривыми даёт для каждого $y$ множитель $5y/72$, который линейно зависит от $y$ — именно такой множитель позволяет взять внешний интеграл в элементарных функциях.

3. 3

   Сведём задачу к одному интегралу.

   $\int_{0}^{\infty}\frac{5y}{72}e^{-y^{2}}\,dy=\frac{5}{72}\int_{0}^{\infty}y\,e^{-y^{2}}\,dy.$

4. 4

   Выполним замену $u=y^{2}$. Тогда $du=2y\,dy$, откуда $y\,dy=\tfrac12\,du$, а пределы $y=0,\infty$ переходят в $u=0,\infty$:

   $\int_{0}^{\infty}y\,e^{-y^{2}}\,dy=\frac12\int_{0}^{\infty}e^{-u}\,du=\frac12\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{\infty}=\frac12.$

   Именно поэтому бесконечный верхний предел не вызывает затруднений: дополнительный множитель $y$ превращает гауссову функцию в обычную экспоненту.

5. 5

   Умножим оба множителя и проверим численно.

   $\frac{5}{72}\cdot\frac12=\frac{5}{144}.$

   Численное интегрирование $\int_{0}^{\infty}\tfrac{5y}{72}e^{-y^{2}}dy$ даёт $0.0347222222$, а $5/144=0.034722\overline{2}$ — совпадение до десяти знаков.