Найдите все решения x(t) уравнения (t − 1)ẋ − x + 1 = t при t > 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём уравнение в порядок. Перенесём константу вправо: $(t-1)\dot{x}-x=t-1.$ В такой записи правая часть — аккуратное кратное $t-1$, и это намёк на то, что всё уравнение вот-вот свернётся.

2. 2

   Приведём к стандартному линейному виду. Так как $t>1$, можно поделить на $t-1$: $\dot{x}-\frac{1}{t-1}x=1,$ то есть $\dot{x}+p(t)x=q(t)$ с $p(t)=-\dfrac{1}{t-1}$ и $q(t)=1$.

3. 3

   Построим интегрирующий множитель. $\mu(t)=e^{\int p\,dt}=e^{-\ln(t-1)}=\frac{1}{t-1},$ причём в $\ln(t-1)$ модуль не нужен, поскольку $t-1>0$.

4. 4

   Умножим уравнение на множитель и узнаем производную произведения. $\frac{\dot{x}}{t-1}-\frac{x}{(t-1)^2}=\frac{1}{t-1}\ \Longleftrightarrow\ \left(\frac{x}{t-1}\right)^{\!\prime}=\frac{1}{t-1}.$

5. 5

   Проинтегрируем и вернёмся к x. $\frac{x}{t-1}=\ln(t-1)+C\ \Longrightarrow\ x(t)=(t-1)\bigl(\ln(t-1)+C\bigr).$

6. 6

   Проверим подстановкой. При $x=(t-1)(\ln(t-1)+C)$ имеем $\dot{x}=\ln(t-1)+C+1$, поэтому $(t-1)\dot{x}-x+1=(t-1)\bigl(\ln(t-1)+C+1\bigr)-(t-1)\bigl(\ln(t-1)+C\bigr)+1=(t-1)+1=t.$ Тождество выполняется при любом $C$, значит, найдено всё семейство решений.