Решить систему x″ + y″ = t², x″ − y″ = 4t при x(0) = 8, x′(0) = 0, y(0) = 0, y′(0) = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскладываем систему сложением и вычитанием. В обеих уравнениях встречаются только сумма и разность $x''$ и $y''$, поэтому линейные комбинации сразу разделяют их — не требуется ни преобразование Лапласа, ни матричные методы:

   $\text{сложим: } 2x'' = t^2 + 4t, \qquad \text{вычтем: } 2y'' = t^2 - 4t$

   Отсюда

   $x'' = \tfrac{1}{2}t^2 + 2t, \qquad y'' = \tfrac{1}{2}t^2 - 2t$

2. 2

   Интегрируем $x''$ один раз и подставляем $x'(0) = 0$.

   $x' = \frac{t^3}{6} + t^2 + C_1$

   При $t = 0$ получаем $0 = C_1$, значит

   $x' = \frac{t^3}{6} + t^2$

   Постоянные удобно определять сразу после их появления, чтобы не перепутать их между $x$ и $y$.

3. 3

   Интегрируем ещё раз и используем $x(0) = 8$.

   $x = \frac{t^4}{24} + \frac{t^3}{3} + C_2, \qquad C_2 = 8$

   $x(t) = \frac{t^4}{24} + \frac{t^3}{3} + 8$

4. 4

   Аналогично для $y$ с нулевыми начальными условиями.

   $y' = \frac{t^3}{6} - t^2 + C_3, \qquad y'(0) = 0 \Rightarrow C_3 = 0$

   $y = \frac{t^4}{24} - \frac{t^3}{3} + C_4, \qquad y(0) = 0 \Rightarrow C_4 = 0$

   $y(t) = \frac{t^4}{24} - \frac{t^3}{3}$

   Отличие $y$ от $x$ — только в знаке кубического члена и наличии константы $8$, что соответствует асимметрии в $\pm 4t$.

5. 5

   Проверяем оба уравнения и все четыре начальных условия. Продифференцируем дважды:

   $x'' = \frac{t^2}{2} + 2t, \qquad y'' = \frac{t^2}{2} - 2t$

   $x'' + y'' = t^2 \ \checkmark, \qquad x'' - y'' = 4t \ \checkmark$

   При $t = 0$: $x = 8$, $x' = 0$, $y = 0$, $y' = 0$ — все условия выполнены. Кроме того, $x - y = \frac{2t^3}{3} + 8$, $x + y = \frac{t^4}{12} + 8$ — это и есть разложенные комбинации.