Найдите общее решение дифференциального уравнения y'' − a y' + b y = 0, где a и b — константы.

Step-by-step solution

1. 1

   Выведем характеристическое уравнение. Подставим $y = e^{rx}$, тогда $y' = re^{rx}$ и $y'' = r^2e^{rx}$, поэтому

   $e^{rx}\left(r^2 - ar + b\right) = 0$

   Так как $e^{rx}$ никогда не обращается в ноль, показатель должен удовлетворять

   $r^2 - ar + b = 0$

   Следует обратить внимание на знак: средний коэффициент — $-a$, поэтому в характеристическом уравнении стоит $-ar$, а не $+ar$.

2. 2

   Решим относительно r и выделим дискриминант.

   $r = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$

   Дальнейшее решение зависит от знака $D = a^2 - 4b$, поэтому ответ обязательно разбивается на три случая.

3. 3

   Случай D > 0: два различных вещественных корня. При $r_{1,2} = \tfrac{a \pm \sqrt{a^2-4b}}{2}$ имеем

   $y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$

   Два показательных решения независимы, так как $r_1 \ne r_2$.

4. 4

   Случай D = 0: один кратный корень. Тогда $r = \tfrac{a}{2}$, и $e^{rx}$ даёт только одно-parameterическое семейство. Вторая независимая функция — $xe^{rx}$:

   $y = \left(C_1 + C_2x\right)e^{ax/2}$

5. 5

   Случай D < 0: комплексно-сопряжённые корни. Запишем $r = \tfrac{a}{2} \pm i\tfrac{\sqrt{4b-a^2}}{2}$ и выделим вещественную и мнимую части:

   $y = e^{ax/2}\left(C_1\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{4b-a^2}}{2}x\right) + C_2\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{4b-a^2}}{2}x\right)\right)$

   Вещественная часть $\tfrac{a}{2}$ отвечает за рост или затухание; мнимая определяет частоту колебаний.

6. 6

   Проверим на конкретных примерах. Пусть $a = 3$, $b = 2$: тогда $D = 9 - 8 = 1 > 0$, корни $r = 2$ и $r = 1$, и $y = C_1e^{2x} + C_2e^{x}$. Подставим $y = e^{2x}$: $4e^{2x} - 3(2e^{2x}) + 2e^{2x} = 0$. Всё верно. Пусть $a = 0$, $b = 4$: $D = -16 < 0$, получаем $y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x$ — стандартное решение $y'' + 4y = 0$.