Вычислить неопределённый интеграл 2/x - 1/x² по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим интеграл, используя линейность. Интегрирование распределяется по разности, а константы выносятся за знак интеграла:

   $\int\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=2\int\frac{dx}{x}-\int\frac{dx}{x^2}$

   Область определения — $x\neq0$, и первообразная корректна отдельно на $(-\infty,0)$ и $(0,\infty)$.

2. 2

   Рассмотрим первый член — исключение из правила степеней. Запишем $\tfrac1x=x^{-1}$. Обычная формула $\int x^n dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}$ здесь не работает, так как $n+1=0$. Поэтому при $n=-1$ возникает исключение:

   $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$

   Модуль под логарифмом необходим для отрицательных $x$. Значит, первый член даёт $2\ln|x|$.

3. 3

   Второй член — обычное правило степеней. Здесь $\tfrac{1}{x^2}=x^{-2}$, $n=-2$, значит $n+1=-1\neq0$, и стандартное правило применимо:

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

4. 4

   Учтём минус перед вторым интегралом. Подынтегральная функция содержит $-\tfrac{1}{x^2}$, поэтому

   $-\int x^{-2}dx=-\left(-\frac1x\right)=+\frac1x$

   Двойной минус превращается в плюс — этот момент часто упускают.

5. 5

   Объединим оба результата в одну первообразную.

   $\int\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=2\ln|x|+\frac1x+C$

   Обратите внимание: два похожих на вид слагаемых приводят к совершенно разным типам функций — логарифму и дробному выражению.

6. 6

   Проверим результат дифференцированием. $\dfrac{d}{dx}\left[2\ln|x|+\tfrac1x\right]=\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}$ ✓. Численно, симметричные разностные отношения при $x=0.7,\ 2.3,\ -1.6$ совпадают с подынтегральной функцией до пяти знаков ✓, включая отрицательное $x$, где важен модуль.