Найдите предел при x→2 выражения (4x² + 7x – 2)/(3x² + 8x + 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала проверим знаменатель в точке предела. Рациональная функция непрерывна всюду, где её знаменатель не равен нулю, и тогда предел равен значению функции. Поэтому первым делом выясним, обращается ли $3x^2+8x+2$ в ноль при $x=2$.

2. 2

   Вычислим значение знаменателя. $3(2)^2+8(2)+2 = 12+16+2 = 30 \neq 0.$ Так как знаменатель не обращается в ноль, неопределённости нет — раскладывать на множители, домножать на сопряжённое или применять правило Лопиталя не требуется.

3. 3

   Вычислим числитель. $4(2)^2+7(2)-2 = 16+14-2 = 28.$

4. 4

   Запишем дробь. $\lim_{x\to2}\frac{4x^2+7x-2}{3x^2+8x+2} = \frac{28}{30}.$

5. 5

   Сократим дробь. $28$ и $30$ имеют общий делитель $2$, поэтому $\frac{28}{30} = \frac{14}{15} \approx 0.9\overline{3}.$ Так как $14 = 2\cdot7$, а $15 = 3\cdot5$ и общих делителей больше нет, это несократимая дробь.

6. 6

   Отметим, где подстановка не сработала бы. Корни знаменателя: $x = \tfrac{-8\pm\sqrt{64-24}}{6} = \tfrac{-4\pm\sqrt{10}}{3} \approx -0.2792$ и $-2.3874$. В этих точках предел потребовал бы отдельного разбора; при $x=2$ функция ведёт себя корректно.