Вычислить тройной интеграл от 1 dz dy dx, где z меняется от 0,9621 − √(0,9649² − (x − 0,4167)²) до 0,9621 + √(0,9649² − (x − 0,4167)²), y — от 1,7476 − √(1,7476² − x²) до 0,6773, а x — от 0,34356 до 1,3815.

Step-by-step solution

1. 1

   Прочитаем интеграл как объём. Подынтегральная функция равна постоянной $1$, поэтому значение тройного интеграла — это просто объём области, заданной тремя парами пределов. Такая переформулировка полезна: она сразу говорит, что ответ обязан быть положительным, и даёт приблизительный масштаб для последующей проверки.

2. 2

   Возьмём интеграл по $z$, воспользовавшись симметрией пределов. Оба предела отстоят от центра $z=0.9621$ на одно и то же расстояние $R(x)=\sqrt{0.9649^{2}-(x-0.4167)^{2}}$, поэтому высота слоя равна просто удвоенному этому радиусу:

   $\int_{0.9621-R(x)}^{0.9621+R(x)}1\,dz=2R(x)=2\sqrt{0.9649^{2}-(x-0.4167)^{2}}$

   Центр $0.9621$ сокращается и больше нигде не появляется — значение имеет только полуширина.

3. 3

   Возьмём интеграл по $y$ — это просто длина отрезка. В оставшейся подынтегральной функции переменной $y$ нет, поэтому интегрирование по $y$ означает умножение на длину промежутка по $y$:

   $L(x)=0.6773-\left(1.7476-\sqrt{1.7476^{2}-x^{2}}\right)=\sqrt{1.7476^{2}-x^{2}}-1.0703$

   Проверим, что $L(x)>0$ на всём промежутке изменения $x$: условие $L(x)>0$ требует $x^{2}<1.7476^{2}-1.0703^{2}=1.90856$, то есть $x<1.38151$, а верхний предел по $x$ равен $1.3815$. Область не вырождается вплоть до самого края.

4. 4

   Сведём всё к одному интегралу по $x$. Объединяя два предыдущих результата,

   $V=\int_{0.34356}^{1.3815}2\sqrt{0.9649^{2}-(x-0.4167)^{2}}\left(\sqrt{1.7476^{2}-x^{2}}-1.0703\right)dx$

   Произведение двух разных квадратных корней не имеет первообразной в элементарных функциях, поэтому последний шаг приходится делать численно.

5. 5

   Проинтегрируем численно и убедимся в устойчивости значения. Формула средних прямоугольников даёт для этой функции $0.73418869$ при $10^{5}$ отрезках разбиения, $0.73418869$ при $10^{6}$ и $0.73418869$ при $10^{7}$; независимое вычисление по Симпсону совпадает до восьми знаков. Итак,

   $V\approx 0.7342$

   Совпадение при трёх измельчениях сетки и по двум разным формулам и делает это значение надёжным — одного грубого вычисления было бы недостаточно.