Вычислите предел (1 − cos 2x)/(2x) при x, стремящемся к бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что числитель не стремится к пределу. При $x\to\infty$ выражение $\cos 2x$ продолжает колебаться между $-1$ и $1$, поэтому $1-\cos 2x$ не имеет предела. Это исключает возможность разложения дроби или применения правила Лопиталя — однако это не мешает всей дроби иметь предел, так как числитель остаётся ограниченным.

2. 2

   Ограничим числитель. Из неравенства $-1\le\cos 2x\le 1$ следует $0\le 1-\cos 2x\le 2$ для любого действительного $x$. Это ключевое неравенство: ограниченный числитель и знаменатель, который не зависит от числителя и неограниченно возрастает.

3. 3

   Разделим неравенство на положительный знаменатель. При $x>0$ имеем $2x>0$, поэтому при делении направление неравенств сохраняется: $0\le\frac{1-\cos 2x}{2x}\le\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}.$

4. 4

   Применим теорему о зажатой функции. Оба внешних предела стремятся к одному значению: $\lim_{x\to\infty}0=0$ и $\lim_{x\to\infty}\tfrac1x=0$. Если функция зажата между двумя последовательностями, имеющими одинаковый предел, то и сама функция стремится к этому же значению. Значит, $\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cos 2x}{2x}=0.$

5. 5

   Проверим на конкретных значениях. При $x=1000$ числитель может быть максимум $2$, значит, вся дробь не больше $2/2000=0{,}001$; при $x=10^6$ — не больше $10^{-6}$. Само верхнее ограничение стремится к нулю, что и определяет ответ.