Вычислить тройной интеграл от 2x − 4yz по области E, где 2 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2x − 4 и 0 ≤ z ≤ 5x + 5y − 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Считываем порядок интегрирования прямо из описания. Каждая граница зависит только от переменных, стоящих левее, поэтому область уже готова к порядку $dz\,dy\,dx$:

   $\int_{2}^{3}\int_{0}^{2x-4}\int_{0}^{5x+5y-3}(2x-4yz)\,dz\,dy\,dx$

2. 2

   Сначала интегрируем по $z$. Считаем $x$ и $y$ постоянными. Первообразная равна $2xz - 2yz^2$, и подстановка пределов от $0$ до $5x+5y-3$ даёт

   $2x(5x+5y-3)-2y(5x+5y-3)^2$

3. 3

   Раскрываем скобки в подынтегральном выражении. Поскольку $(5x+5y-3)^2 = 25x^2+25y^2+9+50xy-30x-30y$, выражение принимает вид

   $10x^2+70xy-6x-50x^2y-100xy^2+60y^2-50y^3-18y$

4. 4

   Интегрируем по $y$ от $0$ до $a = 2x-4$. Первообразная такова:

   $(10x^2-6x)y+35xy^2-25x^2y^2-\tfrac{100x}{3}y^3+20y^3-\tfrac{25}{2}y^4-9y^2$

   Подстановка $y=a$ оставляет многочлен, зависящий только от $x$ (нижний предел $y=0$ ничего не добавляет).

5. 5

   Отмечаем полезную проверку, не доводя решение до конца. Так как $a = 2x-4$ обращается в нуль при $x=2$, всё подынтегральное выражение зануляется на нижнем пределе — если у вас это не так, значит выше вкралась алгебраическая ошибка.

6. 6

   Интегрируем получившийся многочлен по $x$ от $2$ до $3$. Каждое слагаемое — степень $x$, так что последний шаг рутинный. Проведя все выкладки в точной рациональной арифметике, получаем

   $\iiint_E (2x-4yz)\,dV = -268$

7. 7

   Главный вывод. Единственная настоящая трудность здесь — аккуратность учёта: интегрируем в том порядке, который диктуют неравенства, подставляем пределы по одному и полностью раскрываем скобки, прежде чем переходить к следующей переменной. Всё держим в точных дробях: именно округление посреди тройного интеграла порождает большинство ошибок в знаке и порядке величины.