Вычислите предел 3x³ + 5x² + 4x − 10 при x, стремящемся к 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим вид функции, предел которой требуется найти. Выражение $3x^3+5x^2+4x-10$ — это многочлен. Многочлены строятся из суммы и произведения $x$ и констант, и такие функции непрерывны при любом действительном $x$. Непрерывность в точке $a$ означает, что

   $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

   поэтому никаких алгебраических преобразований здесь не требуется — задача сводится к простой подстановке.

2. 2

   Подставим $x=2$ в каждый член по отдельности. Поэлементная подстановка позволяет избежать ошибок в вычислениях:

   $3(2)^3=3\cdot 8=24,\qquad 5(2)^2=5\cdot 4=20,\qquad 4(2)=8,\qquad -10$

3. 3

   Сложим все четыре полученных значения.

   $24+20+8-10=42$

   Следовательно,

   $\lim_{x\to 2}\left(3x^3+5x^2+4x-10\right)=42$

4. 4

   Проверим корректность прямой подстановки. Прямая подстановка невозможна только при появлении неопределённостей вида $\tfrac00$ или $\tfrac{c}{0}$. Здесь получено конечное число $42$, значит, неопределённости нет — не требуется ни разложения на множители, ни применения приёмов типа сопряжённых, ни правила Лопиталя.

5. 5

   Проверим результат с обеих сторон. Если вычислить значение многочлена при $x=1{,}99$ и $x=2{,}01$, получаем $f(1.99)\approx 41.4023$ и $f(2.01)\approx 42.6023$; значения стремятся к $42$ снизу и сверху, что соответствует двустороннему пределу $42$.