Вычислить интеграл (x + 3)/(x² − 5x + 6) по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Разложим знаменатель, чтобы выбрать метод решения.

   $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

   В знаменателе — два различных линейных множителя, значит, дробь можно разложить на сумму двух простейших с постоянными в числителях. Степень числителя ($1$) меньше степени знаменателя ($2$), поэтому предварительное деление не требуется.

2. 2

   Запишем разложение на простейшие дроби.

   $\frac{x + 3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$

   Умножим обе части на $(x-2)(x-3)$, чтобы избавиться от знаменателей:

   $x + 3 = A(x - 3) + B(x - 2)$

3. 3

   Найдём A и B, подставляя корни. Быстрее всего подставить значения $x$, обнуляющие скобки по очереди. При $x = 3$:

   $6 = B(3 - 2) \ \Longrightarrow \ B = 6$

   При $x = 2$:

   $5 = A(2 - 3) \ \Longrightarrow \ A = -5$

   (Система по коэффициентам даёт то же: $A + B = 1$, $-3A - 2B = 3$.)

4. 4

   Проверим разложение перед интегрированием. При $A = -5$, $B = 6$:

   $\frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3} = \frac{-5(x-3) + 6(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{x + 3}{(x-2)(x-3)} \ \checkmark$

   Проверка занимает одну строку и позволяет вовремя заметить ошибку в знаке.

5. 5

   Проинтегрируем каждое слагаемое. Оба интеграла имеют вид $\int \frac{k}{x - a}\,dx = k\ln|x - a|$:

   $\int \left(\frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3}\right) dx = -5\ln|x - 2| + 6\ln|x - 3| + C$

   Знак модуля обязателен: первообразная корректна на каждом из трёх промежутков $x < 2$, $2 < x < 3$, $x > 3$ по отдельности.

6. 6

   Проведём обратную проверку дифференцированием.

   $\frac{d}{dx}\left(-5\ln|x-2| + 6\ln|x-3|\right) = \frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3} = \frac{x+3}{x^2 - 5x + 6} \ \checkmark$

   Численная проверка при $x = 5$: $\frac{8}{6} = 1.3\overline{3}$ — совпадает для обеих форм. Ответ также можно записать как $\ln\left|\frac{(x-3)^6}{(x-2)^5}\right| + C$.